question simple - bijection ?

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous !

souvent sur le forum j'ai entendu parlé de "bijection" (même par des TS) sans savoir ce que c'est ...

Je suis sûr que ce n'est pas au programme de S, mais j'aimerais avoir de plus amples infos !

Merci bien !
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[invite13d85322]

Salut,

Une bijection c'est une application à la fois surjective et injective , en résumé , si tu prends 2 ensembles ( un de départ et un d'arrivée ) tu as autant d'éléments au départ qu'à l'arrivée , et chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un unique antécédent ( si je me rapelle bien )

a+

PS : il me semble que c'est au programme de term S ( je l'ai vu l'an dernier )

[Gwyddon]

Salut Romain

Une fonction f est bijective de E dans F si pour tout élément y de F il existe un unique élément x dans E tel que f(x)=y (et x est appelé antécédent de y par f).

[invite77e86f54]

et il me semble bien que c est au programme de TS...en tt cas lorsque j y etais,on m avait appris la notion...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Bon je me suis fait grillé

Alors tant qu'à faire, autant être le plus complet possible :

_ une application f de E dans F est injective ssi pour tout x,y dans E on a f(x)=f(y) implique x=y. Pratiquement, cela signifie que si un élément de F admet des antécédents, en fait ils sont tous égaux (il n'y a qu'un seul antécédent). Mais les éléments de F n'admettent pas tous un antécédent dans le cas général (sinon ce serait une bijection).

_ une application f de E dans F est surjective quand tout élément de F admet au moins un antécédent par f. Certains éléments peuvent en admettre plusieurs dans le cas général (sinon f serait aussi une bijection).

On voit donc que f est une bijection ssi f est à la fois surjective (ie tout élément de f admet au moins un antécédent) et injective (ie tout élément de F admet au plus un antécédent)

[Romain-des-Bois]

OK ! Merci à tous les 2 !
en fait ca fait compliqué mais ca parle de quelque chose de simple !

c'est vrai qu'en TS on parle de cette notion, mais sans le nom ...

et je ne l'ai pas vu dans le bouquin, donc ...

Alors, ou notre prof a oublié, ou c'est que c'est pas au programme !
C'est inquiétant pour l'année prochaine...

encore merci !

[invite21126052]

notre prof nous en a parlé: les instructions officielles sont assez ambigues à son propos, comme tu dis romain il faut en parler sans vraiment dire le nom etc...

puisqu'on en est à parler de bijection: d'apres ma prof, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, à savoir:
f continue et strictement monotone sur I
y appartient à f(I)
alors l'équation f(x)=y a une unique solution sur I

s'appelerai "théorème de la bijection".... quelqu'un peut-il confirmer? merci

[GuYem]

notre prof nous en a parlé: les instructions officielles sont assez ambigues à son propos, comme tu dis romain il faut en parler sans vraiment dire le nom etc...

puisqu'on en est à parler de bijection: d'apres ma prof, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, à savoir:
f continue et strictement monotone sur I
y appartient à f(I)
alors l'équation f(x)=y a une unique solution sur I

s'appelerai "théorème de la bijection".... quelqu'un peut-il confirmer? merci

Le corollaire résulte directement de la définition d'une application bijective, il peut mériter le nom de théorème de la bijection.

[invite77e86f54]

c est en effet son nom

[martini_bird]

Salut,

une petite remarque en passant: les anglophones utilisent une expression que je trouve beaucoup plus suggestive pour désigner une bijection: one-to-one correspondence.

Cordialement.

[invite19415392]

f continue et strictement monotone sur I
y appartient à f(I)
alors l'équation f(x)=y a une unique solution sur I

Ce qui m'interpelle, c'est que je ne vois pas en quoi la continuité est nécessaire, mais ça provient sans doute de la définition tordue de Terminale S donnée à f(I) ?

[matthias]

la définition tordue de Terminale S donnée à f(I) ?

C'est à dire ? J'ai du mal à imaginer 36 manières de définir f(I).

[Quinto]

Je ne vois pas tellement non plus en quoi la continuité intervient en fait:
y appartient à f(I), donc par définition il existe x tel que f(x)=y -> existence
f est strictement monotone, donc f est injective -> unicité

En quoi on s'est servit de la continuité?
Ou alors je suis passé à coté...

[invite21126052]

bon, je vais recopier exactement ce qu'il y a dans le livre:

Si f est une fonction continue strictement croissante sur l'itnervalle I = [a,b]
1. l'image de I par f est l'intervalle [f(a), f(b)]
2. pour tout y dans [f(a), f(b)], l'équation f(x)=y, d'inconnue x, a une solution et une seule dans I

la continuité, c'est pour le 1. je suppose...!

bon aller tant que j'y suis la démosntration...
puisque f est strictement croissante sur I, pour tout x de I,
f(a) =< f(x) =< f(b). dnc toute image f(x), c'est-à-dire tout nombre de f(I), est dans [f(a), f(b)].
Réciproquement, si y est dans [f(a), f(b)], y est l'image d'au moins un réel c de I (théorème des valeurs intermédiaires), donc y est dans f(I).
Ainsi f(I) et [f(a), f(b)] ont les mêmes éléments, donc f(I)=[f(a), f(b)]

en outre, l'équation f(x)=y ne peut avoir deux solutions car f étant strictement croissante, deux nombres distincts ont des images distinctes.

voilà... et les réjouissances commencent demain!!

[Quinto]

Oui mais là ca change tout.
Avant on ne savait pas si f(I) était un intervalle...

[invite69e70e2b]

Amusant que certains n'aient pas vu la bijection en TS. Moi, en seconde, j'ai vu ça (sans parler d'injectivité ni de surjectivité, heureusement d'ailleurs).
En tout cas, les programmes des lycées ont l'air d'être de plus en plus réduits (dans le métro, alors que mon frère, en 1S, m'apprenait la définition de la période d'une fonction (périodique), y a un gars de PC* qui nous a dit qu'on apprenait pas à se servir des quantificateurs en lycée).

[invite2ed08286]

Amusant que certains n'aient pas vu la bijection en TS. Moi, en seconde, j'ai vu ça (sans parler d'injectivité ni de surjectivité, heureusement d'ailleurs).
En tout cas, les programmes des lycées ont l'air d'être de plus en plus réduits (dans le métro, alors que mon frère, en 1S, m'apprenait la définition de la période d'une fonction (périodique), y a un gars de PC* qui nous a dit qu'on apprenait pas à se servir des quantificateurs en lycée).

Oui, mais tu es à LLG...

[invite69e70e2b]

Certes, je suis à LLG (mais comment le sais-tu ?).
Mais je ne pense pas que ce soit très compliquer à expliquer (on le faisait au collège avant, selon mon prof).
En effet, tu dessines 2 ensembles comme des gros sacs, tu mets dans éléments genre 1/2, Marie Curie, Napoléon, carré (exemples de mon prof) et tu fais des flèches et tu expliques les différents cas de figures.
Nous, on a pris maximum 2 heures (et encore, on aurait pu aller plus vite).

[matthias]

Mais je ne pense pas que ce soit très compliquer à expliquer (on le faisait au collège avant, selon mon prof).
En effet, tu dessines 2 ensembles comme des gros sacs, tu mets dans éléments genre 1/2, Marie Curie, Napoléon, carré (exemples de mon prof) et tu fais des flèches et tu expliques les différents cas de figures.
Nous, on a pris maximum 2 heures (et encore, on aurait pu aller plus vite).

Oui on faisait au collège avant. Les patates avec les flèches je crois même que c'était mes premiers cours de CM1, mais ça n'allait pas très loin
Je pense aussi, qu'on pourrait facilement réintroduire la notion de bijection au moins au lycée, ce n'est pas du luxe, et ce n'est pas difficile (pas besoin de parler d'injection et de surjection pour autant). J'ai aussi vu que certains lycéens avaient du mal à faire la différence entre fonction et application.

[Sylvestre]

J'ai aussi vu que certains lycéens avaient du mal à faire la différence entre fonction et application.

En ce qui me concerne (et j'ai pas mal d'années de maths derrière moi), je ne suis pas très sûr de cette différence. Lorsqu'on me pose la question, je dis que les fonctions c'est seulement de R vers R et que les autres sont des applications.

[matthias]

En ce qui me concerne (et j'ai pas mal d'années de maths derrière moi), je ne suis pas très sûr de cette différence. Lorsqu'on me pose la question, je dis que les fonctions c'est seulement de R vers R et que les autres sont des applications.

Une fonction c'est une relation d'un ensemble A vers un ensemble B, telle que tout élément de A ait au plus une image (donc tout élément n'a pas forcément une image).
Une application c'est une relation telle que tout élément de A ait exactement une image (donc la restriction d'une fonction à son ensemble de définition est une application).

[invite69e70e2b]

euh, je en crois pas que ce soit ça.
Soit x appartenant à l'ensemble de départ. La fonction f associe un et un seul y dans l'ensemble d'arrivée.
Pour l'application, c'est pour tout élément x, on associe un et un seul y.

IPour une fonction, il y a un antécédent par image, mais pas pour l'application.

[matthias]

Faut que je cherche dans mon cours !

Je pense aussi

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...%A9matiques%29
pour une approche un peu plus (trop ?) formelle.

[invite69e70e2b]

Les histoires de R dans R, je crois que ça n'a rien à voir.
Sinon, les phrases exactes du cour : Soient A et B 2 ensembles non vides. On désigne soius le nom de fonction de A dans B toute relation de A vers B qui à un élément x de l'ensemble de départ A associe un et un seul élément y de l'ensemble d'arrivée B.

Une apllication d'un ensemble A vers un ensemble B est une fonction qui à tout élément x € A associe un et un seul élément y € B.


EDIT : bon, bah j'arrive en deuxième (voire troisième).

[invite2ed08286]

J'ai vu tes messages dans le profil.
J'ai vu la bijection en 1ère S mais de moi-même dans un livre de vulgarisation et assez hâtivement.

[matthias]

Les histoires de R dans R, je crois que ça n'a rien à voir.

effectivement

Sinon, les phrases exactes du cour : Soient A et B 2 ensembles non vides. On désigne soius le nom de fonction de A dans B toute relation de A vers B qui à un élément x de l'ensemble de départ A associe un et un seul élément y de l'ensemble d'arrivée B.

pas "un et un seul", mais "au plus un"

Une apllication d'un ensemble A vers un ensemble B est une fonction qui à tout élément x € A associe un et un seul élément y € B.

Oui

[matthias]

Superdumas, je viens de constater que tu as édité ton message juste avant ma réponse, d'où une légère incohérence.

La définition de fonction dans ton cours n'est pas claire. On la comprend avec la définition de l'application ce qui est un peu bizarre.
Dire qu'une fonction est une relation qui à un élément x de l'ensemble de départ associe un et un seul élément y de l'ensemble d'arrivée laisse croire que c'est valable pour tous les éléments de l'ensemble de départ, ce qui serait faux.
En disant "au plus une image" pour tous les éléments de l'ensemble de départ, c'est beaucoup moins ambigu.

[invite69e70e2b]

non, rien en fait.

Euh, si en fait, quelque chose.

Quand je dis "Je pense pas que ce soit ça", je parlais pas des trucs de matthias, mais de la personne avant, Sylvestre.

[Sylvestre]

Une fonction c'est une relation d'un ensemble A vers un ensemble B, telle que tout élément de A ait au plus une image (donc tout élément n'a pas forcément une image).
Une application c'est une relation telle que tout élément de A ait exactement une image (donc la restriction d'une fonction à son ensemble de définition est une application).

Merci bien pour l'info.
Je ne suis pas très satisfait du fait qu'une fonction n'envoie pas forcément tous les éléments de A vers une image, mais si c'est cela, je me plie à cette définition.

Tu as une référence ?

[matthias]

Je ne suis pas très satisfait du fait qu'une fonction n'envoie pas forcément tous les éléments de A vers une image, mais si c'est cela, je me plie à cette définition.

Tu as une référence ?

au message 23 (lien vers wikipedia)

mais ce dont tu n'es pas très satisfait explique pourquoi on parle d'ensemble de définition et pas seulement d'ensemble de départ.