Cardioïdes, néphroïdes et autres caustiques...

[martini_bird]

Salut,

il y a quelques temps, je suis tombé par hasard sur un bouquin de constructions géométriques amusantes, dont une figure est la cardioïde comme enveloppe de droites dans un cercle (voir figure sur cette page juste avant le 3).

Le principe est assez simple: il suffit à partir de chaque racines n-ième de l'unité de construire les segments qui relient les itérés de la suite , (qui finissent par boucler au bout de n itérations au plus). L'enveloppe de ces segments ressemble à une cardioïde (pour n grand).

Du coup j'ai essayé d'autres relations de récurrence et en cherchant j'ai vu que la suite , donne une néphroïde. De même la suite , donne une courbe à k-1 points de rebroussements. Si k est rationnel la courbe ne boucle pas et ressemble vaguement à une (ou une réunion de) spirale (si ça vous intéresse, je pourrais poster les courber que j'obtiens).

Mais en prenant d'autres formules, aucune structure ne semble apparaître. Ma question donc: connaissez vous d'autres courbes ou figures qui peuvent être construites par ce procédé?

Amicalement.

PS: si vous avez le temps, je vous invite à essayer, c'est vraiment funny!
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[matthias]

Sympa je ne connaissais pas du tout cette méthode.
Pour la néphroïde on peut la voir ici obtenue de la même manière :
http://melusine.eu.org/syracuse/bbgr.../nephroide.xml

[martini_bird]

Salut,

pour le plaisir des yeux, je vous présente quelques productions.

Si quelqu'un est intéressé, je peux mettre le code (pas très long, en caml).

A chaque fois, on trace tous les segments qui relient e(u_n) à e(u_n+1) pour chaque u(0)=e(k). (e(x)= où N est le nombre de points)

La première figure est la cardioïde: , N=128.
Puis la néphroïde: , N=128.
Et une courbe à 3 points de rebroussement: , N=128.

Cordialement.

[martini_bird]

La suite:

Pour la première figure: , N=512.
La seconde: , N=256.
La dernière: , N=256.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Une petite dernière:

, N=256

[matthias]

Il me semble que (sauf pour la dernière) tu obtiens des courbes d'équation:

[martini_bird]

Peut-être, je n'ai pas fait les calculs.

Mais ça doit être ça (en tout cas pour les exemples que j'ai essayés...).

Bravo!

[Bleyblue]

Moi aussi j'aime bien m'amuser avec de jolies courbes comme celles-la.

Mais je fait ça avec leurs équations (paramétriques) et ma calculatrice graphique car je n'avais aucun autre moyen.

Faudra que j'essaie cette méthode lorsque j'aurai un peu plus de temps

[matthias]

Mais ça doit être ça (en tout cas pour les exemples que j'ai essayés...).

Tu me rassures parce que je n'avais pas les moyens de tracer les courbes en question, et la flemme de vérifier à la main. Mais comme le résultat avait l'air plutôt joli, j'avais quand-même relativement confiance

[matthias]

La courbe obtenue pour k = PI a l'air assez sympa (enfin sans les droites sinon ça risque d'être le bazar).

[martini_bird]

La courbe obtenue pour k = PI a l'air assez sympa (enfin sans les droites sinon ça risque d'être le bazar).

Avec , c'est pas très joli, mais en prenant par exemple on a "un tour" complet dans le cercle. Very nice en effet.

Mais la courbe ne "boucle" pas, ce qui n'est pas surprenant puisque que n'est pas rationnel.

[matthias]

Oui, il faudrait une valeur rationnelle proche de PI.

[martini_bird]

Oui, il faudrait une valeur rationnelle proche de PI.

k=3.3 marche bien

[matthias]

C'est vrai.
Au fait merci martini, je viens de remettre des piles dans ma HP 48 qui n'avait pas servie depuis des années
Comme quoi une calculatrice ça peut être utile en fin de compte ...

[martini_bird]

Au fait merci martini, je viens de remettre des piles dans ma HP 48 qui n'avait pas servie depuis des années

[MODE=HS]Ca me fait plaisir de ne pas être le seul utilisateur de cette antiquité... [/MODE]

[matthias]

Mais en prenant d'autres formules, aucune structure ne semble apparaître. Ma question donc: connaissez vous d'autres courbes ou figures qui peuvent être construites par ce procédé?

Quelle genre de relations de récurrences as-tu essayé au fait ? Les doubles récurrences linéaires ça ne donne rien ?

[martini_bird]

Avec les notations du message #3, j'ai essayé les polynômes avec P de degré 2 ou 3, mais rien de probant.

Je n'ai pas essayé les relations pour les simples raisons que je n'y ai pas pensé et qu'il aurait fallu que je remanie le code...

Merci en tout cas pour les idées!

[matthias]

Au fait, est-ce que l'ensemble de ces courbes n'est pas tout simplement celui des épicycloïdes ?
http://www.mathcurve.com/courbes2d/e...icycloid.shtml

[martini_bird]

Au fait, est-ce que l'ensemble de ces courbes n'est pas tout simplement celui des épicycloïdes ?
http://www.mathcurve.com/courbes2d/e...icycloid.shtml

En tout cas ça y ressemble fortement!

[matthias]

Un peu de HS, mais j'ai trouvé un truc assez génial sur le même site (enfin je trouve) : la forme de la pièce de 20 pence.
http://www.mathcurve.com/courbes2d/l...onstante.shtml

[invitefffb8ef1]

merci il est trop bien ce topic!!!

[matthias]

merci il est trop bien ce topic!!!

Oui les courbes ont toujours du succès (enfin tant qu'on ne rentre pas dans les calculs compliqués )

Dans les grands classiques, il y a aussi l'astroïde: