Intégrales curvilignes/elliptiques et longeurs d'arcs de courbes

[Bleyblue]

Bonjour,

Je sais que si j'ai un arc de courbe C dans je peux calculer la longeur de cette courbe en calculant (si possible) :



c'est à dire qu'on intègre la fonction f(x1,x2, ..., xn) = 1 sur l'arc de courbe en question.

Mais je ne comprend pas, pourquoi la fonction f(x1,x2, ..., xn) = 1 et pas autre chose ?
Si j'intègre une autre fonction à la place j'aurai une autre valeur numérique (et je ne comprend pas bien à quoi ça correspond d'ailleurs) :


Si j'essaie avec l'ellipse centrée en (0,0) dans :



J'ai :



et donc j'ai :



Et ça c'est une intégrale elliptique non ?

Et si maintenant j'essaie avec l'arc de courbe y = x sur [0,1] j'obtiendrais de nouveau une primitive impossible à calculer.

Est-ce que ça rentre aussi dans la catégorie des intégrales elliptiques ? où pas ? Et comment fait-on pour se débrouiller dans des cas pareils ?
Par intégration numérique peut-être mais il n'existe pas d'autre moyen ?

merci