Récapitulatif d'algèbre linéaire

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai essayé d'étudier un opérateur linéaire de manière aussi détaillée que je le pouvais pour revoir ma matière un coup (j'ai un examen bientôt).
Ca ne fait intervenire aucune notion de ce qu'on a vu sur les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens ni sur les isométries mais ça ne fait rien, je reverrai ça après.

Quelqu'un serait-il assez aimable pour vérifier tout ce brol ? Tout à l'aire de se tenire mais on ne sait jamais

Voici l'opérateur :



B = {(1,0),(x,0),(x²,0),(0,1),(0,x ),(0,x²)} forme une base de l'espace vectoriel qui est donc de dimension 6.
Plus généralement l'espace vectoriel (p et n naturels) est de dimension (p + 1)n

Je vérifie facilement que l'application est linéaire en vérifiant que :

(lambda mu des scalaires, v w des vecteurs de l'espace vectoriel en question)

Je cherche la matrice de f dans la base B :

f(1,0) = (1,1) = [1,0,0,1,0,0]
f(x,0) = (x,x) = [0,1,0,0,1,0]
f(x²,0) = (x²,x²) = [0,0,1,0,0,1]
f(0,1) = (1,-1) = [1,0,0,-1,0,0]
f(0,x) = (x,-x) = [0,1,0,0,-1,0]
f(0,x²) = (x²,-x²) = [0,0,1,0,0,-1]



Je cherche maintenant la dimension de l'image et celle du noyau de f.

Pour le noyau, il s'agit des vecteurs qui sont envoyés sur (0,0) (le symbôle 0 désignant le polynôme nul) :

p(x) + q(x) = 0
p(x) - q(x) = 0

=> p(x) = q(x) = 0
Donc le noyau est de dimension zéro, et en vertu de l'égalité :



l'image est de dimension 6
Bon, je cherche maintenant les valeurs propres et vecteurs propres c'est à dire les vecteurs non nuls v= (x,y,z,t,a,b) et scalaires lambda tels que :







Il faut (en raison d'un théorème du cours) pour que cette équation admette une solution non nulle que :





Je passe les calculs qui sont longs et assez inintéressants :

(polynôme caractéristique)

Sous espaces propres :



On tombe sur un bête petit système à 6 inconnues qu'on résout pour tomber sur :



de même :



Donc je prends la base

alors :



Et la matrice de changement de base C :



diagonalise M(B) c'est à dire est telle que

avec M(B') diagonale

merci