Calcul de la fonction réciproque

[Karine942]

Bonjour,

Je cherche à calculer la fonction réciproque d'une fonction. Quelqu'un aurait-il une méthode pour faire ceci?
Je connais la definition de la fonction réciproque mais je suis incapable d'en calculer une.

(ex: démontrer que ArcCh( x) est bien la réciproque de Ch( x) )

[Eogan]

J'ai pas bien compris ce que tu cherches mais utilise la relation f-1(f(x))=x

[edpiste]

Sais-tu calculer la fonction réciproque de la fonction
définie par ?

Et la fonction réciproque de définie par f(x)=x^2 ?

Si tu comprends ces deux exemples, tu sauras traiter le cas de l' arcch.

[Karine942]

Citation:

Posté par edpiste

Sais-tu calculer la fonction réciproque de la fonction
définie par ?

Et la fonction réciproque de définie par f(x)=x^2 ?

Si tu comprends ces deux exemples, tu sauras traiter le cas de l' arcch.

Non je ne sais pas calculer ceci.

[ericcc]

On ne sait pas toujours calculer la fonction réciproque. Mais on peut y arriver dans des cas simples. Pour comprendre :
tu as une fonction f qui à x associe y=f(x).
La fonction réciproque est la fonction g qui à y associe x. Elle s'écrit x=g(y). On note la fonction réciproque f^-1.
Par exemple si y=f(x)=ax+b, tu résous l'équation en x et tu trouves x=(y-b)/a, c'est ta fonction réciproque x=f^-1(y).
Attention au domaine de définition, il faut bien regarder ce qu'ils sont dans les deux cas.

[edpiste]

Citation:

Posté par ericcc

Attention au domaine de définition, il faut bien regarder ce qu'ils sont dans les deux cas.

C'est en effet un point crucial. Je me permets de compléter le propos d'ericc. Prenons l'exemple de la fonction f(x)=x^2 définie sur E=R^+ à valeurs dans F=R^+.
Trouver la fonction réciproque de f (si elle existe) c'est faire les quatre choses suivantes

1. Trouver l'ensemble de départ et d'arrivée de la fonction f^{-1}. La réponse est simple : si f va de E dans F, alors f^{-1} va de F dans E. Dans l'exemple ci-dessus on a donc

l'ensemble de départ (ou de définition) de f^-1 est F=R^+

l'ensemble d'arrivée (ou cible) de f^-1 est E=R^+

2. Etant donné un élément y de F fixé, il faut résoudre l'équation

f(x)=y sous la contrainte que la solution x appartient à E

Dans notre cas, il faut résoudre

x^2=y sous la contrainte que x appartient à R^+

Or l'équation x^2=y admet deux solutions

x=-racine y

et

x=racine y

Mais dans ces deux solutions, il n'y en a qu'une seule qui appartient à E=R^+, c'est

x=racine de y

3. On définit alors f^{-1} par

f^{-1}(y)= la solution trouvée à l'étape précédente = racine de y

4. Comme la variable y est muette, on peut la renommer x, on a donc

f^{-1}(x) = racine de x

Pour résumer, dans cet exemple, f^-1 est la fonction définie sur R^+ à valeurs dans R^+ par

f^{-1}(x)= racine de x

Essaie de refaire cet exercice avec la fonction g que j'ai donné puis reprends ton problème de départ.

[Karine942]

Merci énormement edpiste
C'est exactement le genre de méthodes que je cherchais. J'ai compris ton exemple (surtout quand on connait le résultat ça aide), dès demain j'essaye donc avec mes exemples.
Merci encore!

pour tes explications claires!

[Julbaggins]

Bonjour, dans la même série, j'ai un fonction réciproque ainsi que sa dérivée à trouver:

g(x)= x + 1/ racine (1+X²)

Je suis perdu!!

[ericcc]

c'est une équation de degré 4 en x, es tu sûr qu'on te demande la réciproque de g(x) ?

[crazyramen]

Bonjour

Il m'a été demandé dans un devoir de calculer la fonction reciproque de :f(t)= (13/2)exp(-2t) + (5/2)

Je trouve f-1(t)= ln(2t-5 /13) x (-1/2), se qui a priori est juste, mais ma question est dois je justifié mon calcule d'un qq'conque facon ? ( niveau des interval etc ... )

[Julbaggins]

Je confirme que l'énoncé est bon, et je suis toujours autant perdu!