Euler - Forum Mathématiques du collège et du lycée

Descarte · 27/10/2006, 21h32

bonjour j'ai un probleme j'arrive pas a demontre que g(x)=f(x)f(-x).

enoncé:
considerons le probleme suivant : quelles sont les fonctions f derivable sur R telles que f'(x)=f(x)pour tout réel x et telle que f(o)=1?
on va supposer ici qu'une telle fonction existe, et on va chercher:
-à en construire une courbe representative approchée en utilisant la méthode d'euler.
-à en determiner quelque propriété.

partie A

on va construire des courbes approchées d'une telle fonction f. Pour cela, on va utiliser le methode d'euler,qui consiste à utiliser l'approximation :
f(x) ~f(a)+f'(a)(x-a)

on decoupe l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur 1/n (n étant un entier naturel non nul).
on note t0 (0 est en indice):
to=0,t1=1/n,...tk=k/n,....tn=1 les bornes des differentes intervalles abtenus classés par ordre croissant. on note yo, y1,...,yn les valeurs approchées de f(0), f(1),...,f(tn) obtenus a l'aide de la méthode d'euler.

1.comme f(0)=1, on pose yo=1.
montre que f(t1)~1+ 1/n. on prend donc y1=1+ 1/n.

2. en considerant que f(t1)= 1+ 1/n (on utilise l'approximation de la fonction f), montrer que
y2 =(1+1/n)²

3. montrer par recurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
yk=(1+ 1/n)exposant k
4. dans un repere orthonormé d'unité 10 cm, construire les courbes approchant f sur[0;1] pour n=5 , n=10 et n=20

Partie B: c'est là que je bloque

soit f une fonction verifaint les condition énoncées au debut du probleme. on va montrer quelques proprietes de cette fonction.

1.on defintla fonction g sur R par g(x)=f(x)f(-x)
a) montrer que g est derivable sur R et calculer sa dérivée.

b)que peut on en deduire? calculer g(0) et en deduire l'expression de g(x) en fonction de x.

c) montrer que f ne s'annule pas sur R.

2. soit a un réel. on definit à present la fonction h sur R par:

h(x)= f(a+x)/f(x)

a) montrer que h est derivable sur R et calculer sa dérivée.
b) calculer h(0) et en deduire l'expression de h.
c) montre alors que pour tous réel a et x , on a:

f(a+x)=f(a)f(x)
quel objet mathématique possède la même propriete?

Merci de bien vouloir m'aider.

Duke Alchemist · 27/10/2006, 21h41

Bonsoir.

Une proposition pour

Citation:

f(a+x)=f(a)f(x)
quel objet mathématique possède la même propriete?

La fonction exponentielle peut-être...
e^a+x=e^ae^x

Désolé, pour le reste je laisse faire les pros

Duke.

EDIT : Bienvenue !
et encore désolé de ne pas t'aider davantage ! J'essaierai de faire mieux la prochaine fois

Descarte · 27/10/2006, 21h42

ok merci mais mon prof m'a dit qu'on connaissais cette objet avant le lycée

pas de probleme

Tonton Nano · 27/10/2006, 21h49

Bonsoir,

Pour la question B1a,
f est dérivable sur R et g est un produit de fonctions dérivables sur R donc g est dérivable sur R ... ça ne pose pas de problèmes.

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) puis on remplace f(x) par f'(x) et g'(x) = ...

b)
g(0) = f(0)f(0) = 1 et avec l'expression de g'(x) que l'on a calculé, on sait que la fonction g est ... donc que g(x) = ...

On verra plus tard pour la suite !

Descarte · 27/10/2006, 21h57

dsl mais g pa compris comment tu fait

Albus · 27/10/2006, 21h59

Salut !

1)a- g est le produit de 2 fonctions dérivables, donc g est dérivable...
Pour la dérivée tu utilises la formule de dérivation du produit de 2 fonctions, mais également de la composée pour dériver f(-x) !

Tu dois trouver une valeur particulière pour la dérivée, et la déduction découle facilement !

b- g(0) = f(0)*f(0)
Or, dans les premières lignes, on te donne la valeur de f(0)...

c- g(x) = f(x)*f(-x) est définie sur R !
Et f aussi, donc tu peux définir f(x) comme étant g(x)/f(-x), or f est définie sur R donc f(-x) ne peut s'annuler (ce qui donnerait une interdiction de calcul), d'où f ne s'annule pas.

Raisonnement à confirmer quand même !

Et le reste peut se faire sur le même modèle !

PS: je crois qu'il découvre l'expo justement, avec ce DM !
PS²: on peut donner les soluces comme ça ici ? J'avais cru lire que c'était mieux de les faire comprendre !

Tonton Nano · 27/10/2006, 22h06

Citation:

Posté par Albus

c- g(x) = f(x)*f(-x) est définie sur R !
Et f aussi, donc tu peux définir f(x) comme étant g(x)/f(-x), or f est définie sur R donc f(-x) ne peut s'annuler (ce qui donnerait une interdiction de calcul), d'où f ne s'annule pas.

Je ne suis pas trop d'accord pour diviser par f tant qu'on est pas sur que f ne s'annule pas !

Le plus simple ici est un raisonnement par l'absurde :
Je suppose que f s'annule.
Il existe donc un x dans R tel que f(x) = 0 donc g(x) = f(x)f(-x) = 0. Or, la réponse à la question précédente nous informe que ça n'est pas possible donc, j'ai eu tord de faire cette supposition. f ne s'annule pas.

Pour dériver g, comme le dit Albus : dérivée d'un produit puis d'une composée et on remplace f'(x) par f(x).

Albus · 27/10/2006, 22h08

Exact Tonton Nano, mea culpa !
J'ai été pris d'un élan de folie soudain...

Enfin oui le raisonnement par l'absurde était évident... J'ai honte !

Descarte · 27/10/2006, 22h09

ok je vais essayer de faire la derivée et oui Albus c'est pour nous faire decouvrir l'exponentiel le dm

Descarte · 27/10/2006, 22h12

le jepige pas j'arrive a faire les derivé mais les composé nn

Albus · 27/10/2006, 22h13

J'aime bien les phrases innocente "On va supposer qu'une fonction définie telle que f'(x)=f(x) existe"

Ca fait vraiment "

" !

Descarte · 27/10/2006, 22h19

ban si tu les iame bien jvai de presenter mon prof lol

pour le moment j'ai pour la derivée cela :

derivé du produit: f '(x)f(-x)+ f(x)f'(-x)
c bon ?

Tonton Nano · 27/10/2006, 22h19

g est le produit de deux fonctions. Pour dériver g, il faut utiliser la formule :

(uv)' = u' v + u v'

mais l'une des deux fonctions est la composée de f et de -x donc, ici on utilise

(v o u)' = u' (v' o u)
avec u(x) = -x et v(x) = f(x)

on a alors :
g'(x) = f'(x) f(-x) + f(x) (-f'(-x))

Or on sait que f(x) = f'(x) donc
g'(x) = f(x) f(-x) - f(x) f(-x)

Tonton Nano · 27/10/2006, 22h20

Citation:

Posté par Descarte

ban si tu les iame bien jvai de presenter mon prof lol

pour le moment j'ai pour la derivée cela :

derivé du produit: f '(x)f(-x)+ f(x)f'(-x)
c bon ?

Non, tu n'as pas dérivé la composée f(-x)

Albus · 27/10/2006, 22h22

et donc g'(x) = 0 !

Descarte · 27/10/2006, 22h23

ok ban dit donc j'en étai loin

ok pour g ' (x) = 0 logique

Descarte · 27/10/2006, 22h26

on en deduit que g(o) = 1

Tonton Nano · 27/10/2006, 22h26

Ok
donc que vaut g(x) ?