problème de dérivation? - Forum Mathématiques du collège et du lycée

sandriela · 28/10/2006, 12h26

Bonjour à tous!

Comme beaucoup d'autres j'ai un dm de maths pour les vacances. Malheureusement je suis bloquée au début de l'exercice

Alors voila on a
f(x) = x+ (1-k e^x)/(1+ke^x)

La première question consiste à démontrer qu'elle est solution de 2y' = (y -x)²+1
J'ai calculé la dérivé de f' et j'ai remplacé d'un part y' par la dérivé et d'autre part y par f et je pense avoir trouvé (j'espère que c'était la technique à utiliser...)

Ensuite ils demandent d'en déduire le sens de variation de f et là est mon problème.

tout d'abord j'ai trouvé f' = (1+k²e^2x)/(1+ke^x)²

Lénoncé dit que k est positif ou nul donc j'en déduit que f' >o quelque soit x .

Mais cela me semble un peu bizarre car plus loin dans l'exercice ils proposent deux droite D: x+1 et D' : x-1
ils demandent d'en calculer la position par rapport a f donc là tout va bien mais ensuite ils demandent de donner la position des asymptotes de f pourtant je n'en trouve pas d'autre que D et D' puisque l'on a lim f en + l'infini + l'infini et limf en - l'infini - l'infini . Alors je suis étonnée quand même qu'ils demandent la position des asymportes alors que juste au dessus ils demandent le position de D et D' par rapport à f.

J'aimerais savoir si il y a une erreur dans mon raisonnement....
Merci par avance!!!

Jeanpaul · 28/10/2006, 13h25

Citation:

Posté par sandriela

La première question consiste à démontrer qu'elle est solution de 2y' = (y -x)²+1
Mais cela me semble un peu bizarre car plus loin dans l'exercice ils proposent deux droite D: x+1 et D' : x-1
ils demandent d'en calculer la position par rapport a f donc là tout va bien mais ensuite ils demandent de donner la position des asymptotes de f pourtant je n'en trouve pas d'autre que D et D' puisque l'on a lim f en + l'infini + l'infini et limf en - l'infini - l'infini . Alors je suis étonnée quand même qu'ils demandent la position des asymportes alors que juste au dessus ils demandent le position de D et D' par rapport à f.

Quand tu sais que 2 y' = (y-x)² +1, cela suffit déjà à montrer que y'>0 mais ta méthode est correcte aussi.

S'il est vrai ensuite que y tend vers + infini quand x tend vers + infini, il est intéressant de calculer y - (x+1) quand x tend vers + infini. On doit démontrer que cette différence tend vers 0 et pas seulement y. On en déduit que la droit y = x+1 est asymptote. Le signe de y - (x+1) donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote.
Vers - infini, on trouve une autre droite.

sandriela · 28/10/2006, 17h46

tout d'abord merci de m'avoir repondu!

Alors j'ai regardé pour faire la limite en - l'infini pour commencer de y - (x+1) et je trouve d(x) = (-2ke^x)/(1+ke^x)

On sait que lim e^x
pour tout x en - l'infi c'est 0 , donc ke^x=0
donc lim1+ke^x=1

et par quotient lim d(x) en - l'infini égal 2 .Je ne trouve pas O

sandriela · 29/10/2006, 10h38

s'il vous plait...

Nicolas666666 · 29/10/2006, 10h42

justement, limite de -2kexp(x) en -l'infini = 0! pas à moins 2! donc là ça semble plus mieux

erik · 29/10/2006, 10h45

Citation:

et par quotient lim d(x) en - l'infini égal 2 .Je ne trouve pas O

Ton erreur est là.
Lim d(x)=(2*0)/1 donc lim d(x)=0
Le numérateur tend vers 0 ( ke^x tend vers 0, donc -2ke^xtend aussi vers 0) et le dénminateur tend vers 1, donc le quotient tend bien vers 0

Jeanpaul · 29/10/2006, 13h00

Citation:

Posté par sandriela

Alors j'ai regardé pour faire la limite en - l'infini pour commencer de y - (x+1) et je trouve d(x) = (-2ke^x)/(1+ke^x)

Avec la droite y = (x+1), il faut faire tendre x vers -infini et là ça tend bien vers zéro.
Du côté de +infini, il faut prendre la droite y = x-1 et faire le même calcul.

sandriela · 29/10/2006, 14h01

a oui en effet je me suis trompé avec la limite du quotient nombre sur l'infini.

Je vous remercie beaucoup!!!