Salut,
Si on a une distribution de densité :
de particules dans l'espace des phases, avec
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi l'hypothède du chaos moléculaire de Boltzmann revient à écrire la densité marginale à deux particules comme le produit de deux densités marginales à une particule plus un terme de corrélation ?
Comment arrive-t-on là ?
Merci
Salut,
Je pense qu'il n'y a rien de physique là-dedans.
Si les deux particules étaient indépendantes ça serait simplement le produit des densités à une particule. Vu qu'elles ne sont pas indépendantes, on corrige avec un terme de corrélation. J'aurais tendance à dire que ton équation est la définition même du terme de corrélation.
Ca me va..
Comme le dit coincoin cela définit le terme de corrélation.Envoyé par Heimdall
Salut,
Si on a une distribution de densité :
de particules dans l'espace des phases, avec
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi l'hypothède du chaos moléculaire de Boltzmann revient à écrire la densité marginale à deux particules comme le produit de deux densités marginales à une particule plus un terme de corrélation ?
Comment arrive-t-on là ?
Merci
Attention! L'hypothèse du chaos moléculaire de Boltzmann consiste justement à négliger ce terme. Donc la fonction de distribution à 2 particules est tout simplement le produit de fonctions de distribution à 1 particule.
L'hypothèse du chaos moléculaire (centrale dans l'établissement de l'équation d'évolution de Boltzmann modélisant l'évolution d'un gaz parfait "isolé") signifie, au contraire, que l'on peut, à tout instant, modéliser l'état du gaz, dans l'espace de phase à deux particules, par le produit des distributions marginales (donc sans le terme de corrélation), ces distributions marginales étant égales à la distribution modélisant l'état du gaz dans l'espace de phase à une seule particule.Si on a une distribution de densité :
de particules dans l'espace des phases, avec :
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi l'hypothèse du chaos moléculaire de Boltzmann revient à écrire la densité à deux particules comme le produit de deux densités marginales à une particule plus un terme de corrélation ?
Comment arrive-t-on là ?
Or, si le choc entre particules diminue l'information contenue dans la distribution des vitesses/positions dans l'espace de phase à une seule particule, l'information manquante n'est, en principe, pas perdue. Elle se retrouve justement dans le terme de corrélation (que vous avez noté g) associé à la distribution modélisant l'état du gaz dans l'espace de phase à deux particules.
L'hypothèse du chaos moléculaire implique donc une perte d'accès à l'information de corrélation (perte du terme que vous avez noté g) puisque la distribution dans l'espace de phase à deux particules choisie pour modéliser l'état du gaz avant une collision néglige ce terme de corrélation (modélisant la corrélation qui s'est établie lors des chocs antérieurs).
Cette perte d'accès de l'observateur macroscopique à une partie de l'information (sur l'état microphysique des particules de gaz), modélise l'irréversibilité de cette évolution. Cette irréversibilité, correctement modélisée par l'équation d'évolution de Boltzmann dans le cas particulier des gaz parfaits, est confirmée pratiquement.
On pourrait, à tort, être tenté d'attribuer cette perte d'accès à l'information à la myopie de l'observateur macroscopique. L'information g ne serait pas vraiment perdue, mais serait toujours présente dans le gaz à une échelle trop fine pour être accessible à l'observateur macroscopique. Or cette interprétation physique est fausse. A titre d'illustration, on ne parviendrait pas, par exemple, à faire se reconcentrer une goutte d'encre qui s'est diffusée dans un verre d'eau en renversant les vitesses de toutes les molécules d'eau et d'encre. Cela prouve bien que l'information g de corrélation induite par les chocs est bel et bien perdue (et non cachée à une échelle d'observation trop fine pour être accessible à l'observateur macroscopique).
Pourquoi, si on renverse leurs vitesses, les molécules d'eau et d'encre dévient-elles petit à petit, "au retour", du chemin qu'elles ont suivi "à l'aller" ? Cela provient des perturbations inévitables induites par l'interaction des molécules d'eau et d'encre avec l'extérieur, et ce, quel que soit le soin apporté à l'isolement du verre d'eau. L'hypothèse du chaos moléculaire modélise donc le fait que l'information de corrélation g associée aux chocs entre particules se dissipe dans l'environnement du système "isolé" (cad que l'entropie d'un système "isolé" croît) parce qu'en fait il n'est jamais parfaitement isolé.
Au contraire, un système isolé régi par une dynamique hamiltonienne peut revenir (si l'évolution de ce système est bornée et sauf état initial particulier de probabilité nulle) aussi près qu'on le souhaite de son état initial dans son espace de phase à condition d'avoir la patience d'attendre suffisamment longtemps. L'objection de récurrence de Zermelo associée au théorème de récurrence de Poincaré et l'objection de réversibilité de l'évolution des systèmes isolés régis par une dynamique hamiltonienne soulevée par Loschmidt à l'encontre du théorème H de Boltzmann sont donc toutes les deux correctes au plan du principe. Si un système classique (1) pouvait être parfaitement isolé de toute interaction avec son environnement, il n'y aurait pas croissance monotone de son entropie.
Bref, l'hypothèse du chaos moléculaire, à l'origine de la décroissance de la fonction H de Boltzmann (la croissance de l'entropie d'un gaz parfait "isolé"), est correcte parce qu'on se place implicitement dans une situation physiquement réaliste où, en pratique, le gaz ne sera jamais parfaitement isolé.
Pour plus de détails sur cette discussion délicate, voir le fil "Equation de Boltzmann" et en particulier http://forums.futura-sciences.com/post391367-5.html ainsi que les discussions sur la roue à rochet et cliquet de Feynman. Il s’agit d’une nanomachine censée pouvoir transformer, lors d’un cycle monotherme, l’énergie cinétique d’agitation thermique d’un gaz en énergie mécanique utilisable à l’échelle macroscopique en violation du second principe (principe selon lequel la quantité d’information inaccessible à un observateur macroscopique, sur l’état d’un système isolé dont il fait partie, serait nécessairement supérieure à celle définie par l’entropie macroscopique de ce système quels que soient nos progrès en nanotechnologie). BC
(1) En mécanique quantique c'est probablement vrai aussi, mais ça nous amènerait au sujet controversé de la mesure quantique où, vraisemblablement, l'irréversibilité et l'indéterminisme de la mesure quantique tirent leur origine du fait que les systèmes observés ne sont jamais parfaitement isolés. Sans cette absence d'isolement, il n'y aurait peut-être pas de mesure quantique, pas de perte d’accès à l’information de l'observateur et donc pas non plus d'information enregistrable par l'observateur, donc pas de documents, pas de souvenirs et pas de flèche du temps.
Salut,
j'ai du mal à comprendre là... vu que dans la démo de l'équation de Boltzmann que j'ai sous les yeux on se sert justement de toute la relation que j'ai écrite, 'g' compris.
C'est ce terme qui une fois la relation que j'ai écrite injectée dans l'équation de liouville intégrée, devient le terme de correlation de l'équation de Boltzmann.
Ce terme est nul dans la suite de mon étude car l'objet est le système de Vlassov-Poisson, mais l'équation de Boltzmann est présentée avec ce terme non nul.
pour ma par j'ai aussi trouvé qu'en rajoutant un terme ( + X) ont peut avoir des surprises. Et j'avoue je n'arrive pas encore a l'expliquer.
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Non je crois que tu confonds 2 choses:
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1- L'hypothèse du chaos moléculaire qui est donc la factorisation de la fonction de distribution F2(....) à 2 particules comme produit de fonctions de distribution F1(...) à 1 particule.
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2- le taux de transition, cad la probabilité par unité de temps W(p1,p2 : p1f,p2f) pour que 2 particules entrant en collisions avec des impulsions p1 et p2 ressortent avec des impulsions p1f et p2f. W permet de calculer la contribution des collisions à l'équation d'évolution de la fonction de distribution à 1 particule F1(..).
.C'est ce terme qui une fois la relation que j'ai écrite injectée dans l'équation de liouville intégrée, devient le terme de correlation de l'équation de Boltzmann.
Voilà encore la trace de ta confusion. Ce que tu appelles ci-dessus terme de corrélation est en fait un terme de collisions.
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En bref: il ne faut pas confondre le concept de fonction de distribution qu'il faut mieux noté F et le concept de fonction d'amplitude de transition qu'il vaut noté W. Si cela n'est pas clair pour toi, je te suggère de revoir un cours de probabilité.
.Ce terme est nul dans la suite de mon étude car l'objet est le système de Vlassov-Poisson, mais l'équation de Boltzmann est présentée avec ce terme non nul.
En effet on obtiend l'équation de Vlassov en négligeant le terme de collisions de l'équation de Boltzmann. A ton avis, pourquoi? (la réponse est très importante pour une bonne compréhension des systèmes hors d'équilibre)
Bon je veux bien accepter que je confond car j'avoue que cette démonstration n'est pas très claire, mais j'ai un peu peur de mal m'expliquer aussi.
Mon cours parle bien de terme de correlation et non de collision (j'avoue que moi avant j'avais entendu terme de collision=0 pour vlassov...)
Pour voir tout ce que je raconte en version math, vous pouvez jeter un oeil au transparent qu'on nous projette en cours : ici
Page 9 : hypothèse du chaos moléculaire, voyez que tel que c'est écrit on dirait qu'il y a bien 'g'
Page 11 : terme de correlation dans l'équation de boltzmann...
.Je trouve son exposé anti-pédagogique et comportant de lourdes erreurs.
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Le plus flagrand est qu'il mélange la problématique des corrélations entre particules et la notion de collisions entre particules. Pour lui ces notions sont identiques.
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Il écrit royalement que l'hypothèse du chaos moléculaire de Boltzmann est justement d'introduire une corrélation entre particules, Ce qui est faux (voir n'importequel livre de physique statistiques).
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Lorsqu'il écrit le terme de collisions C(w,t) celui-ci apparait comme fabriqué à partir de la fonction de corrélation, qui provient de la fonction de distribution à 2 particules. Autrement dit si cette fonction de corrélation devient nulle le terme de collisions s'annule ce qui prouve bien qu'il assimile les 2 notions comme apparentées, ce qui est lourdement scandaleux.
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Lla stratégie de l'équation de Boltzmann est justement de ne faire intervenir que la fonction de distribution à 1 particule. Dans le cas contraire'il faudrait trouver une nouvelle équation d'évolution pour la fonction de distribution à 2 particules.Cela correspond à l amorce d'une chaine BBGYK.
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Pour être pratique l'équation Vlasov-Poisson s'écrit immédiatement (puisqu'il n'y a pas de collisions).
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Tu écrit l'équation de Liouville qui est l'équation d'évolution de la fonction de distribution à 1 particule. Dans cette équation apparait une force "motrice" F.
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Cette force F qui s'applique sur 1 particule à pour origine le champ gravitationnel du aux autres particules. Pour écrire celle-ci il suffit d'appliquer la loi de poisson qui te donnne le potentiel en 1 point du aux autres particules, cette équation contiend à nouveau la fonction de distrubution à 1 particule.
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On a donc un système de 2 équations couplées où l'inconnue et la fonction de distribution à 1 particule.
Remarque: si tu voulais tenir compte des collisions, ce serait la même chose, la différence qui complique tout est que le terme de collision comprend la fonction de distribution à 1 particule sous forme très compliquée
salut.
je pense que c'est la définition même du chao moléculaire,qui stipule les corrélations des vitesses avant collisions sont négligeables.
Ce qui est moins connu est ce que cela signifie physiquement, à savoir que le gaz "isolé" (visé par le théorème H de Boltzmann), n'est en fait pas isolé.
Dans le cas inverse il finit, à condition d'attendre "suffisamment" longtemps (en fait plus que l'âge de l'univers même pour un très petit nombre de molécules) par revenir aussi près qu'on le souhaite de son état initial (c'est la fameuse objection de Zermelo reposant sur le théorème de récurrence de Poincaré). Cela signifie que l'irréversibilité de l'évolution d'un gaz "isolé" (la perte définitive de l'information de corrélation induite par les chocs) exige une fuite d'information dans l'environnement du gaz. Effectivement, le gommage de cette information de correlation par interaction du gaz avec de faibles perturbations issues de son environnement se fait très rapidement. Par exemple, une perturbation du champ gravitationnel correspondant à un écart de masse de 1 gramme à proximité de Sirius est suffisant pour complètement modifier l'état microphysique d'un gaz (en partant du même état microphysique initial) en quelque fois le temps de libre parcours moyen de ce gaz.
Sauf erreur de ma part, cette remarque est générale. Que se soit en mécanique classique ou en mécanique quantique, on ne peut avoir apparition d'irréversibilité sans faire appel à la notion de classe d'observateurs et de limitation d'accès à l'information des observateurs de cette classe. Pour l'instant, personne n'a contesté l'affirmation que j'ai faite à ce sujet à plusieurs reprises sur ce forum...
...et pourtant, je continue malgré tout à garder un doute tellement je trouve choquant le caractère relatif à l'observateur (donc non objectif) qu'elle donne à la flèche du temps.
