équation fonctionnelle

edpiste · 28/11/2006, 12h27

Bonjour à tous.

Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t quelconque

$f(2t)\ge 2f(t)$

Est-il vrai qu'il existe un $p>1$ (peut-être $p=2$ ?) et une constante $C>0$ tels que

$f(2t)\ge C f(t)^p$ ?

On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

Sur tous les exemples (croissance pire qu'exponentielle), ça a l'air de marcher.
J'ai une preuve notamment si Ln(f) est convexe.

Toute idée bienvenue.

edpiste · 28/11/2006, 16h03

Je refais une petite tentative, au cas où ça intéresse quelqu'un.
Problème simplifié :

Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t>0,

$f(t+1)\ge 2f(t)$ .

Montrer ou infirmer que

$f(2t)>Cf(t)^2$ ,

On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

rvz · 28/11/2006, 16h23

Citation:

Posté par edpiste

Bonjour à tous.

Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t quelconque

$f(2t)\ge 2f(t)$

Est-il vrai qu'il existe un $p>1$ (peut-être $p=2$ ?) et une constante $C>0$ tels que

$f(2t)\ge C f(t)^p$ ?

On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

Sur tous les exemples (croissance pire qu'exponentielle), ça a l'air de marcher.
J'ai une preuve notamment si Ln(f) est convexe.

Toute idée bienvenue.

Salut,

Ton approche est bizarre, le cas critique est plutot le cas où f(2t) = 2 f(t), ce qui revient à dire f(t) = t. Dans ce cas, ça échoue.
Avec les hypothèses que tu ajoutes, on a donc envie d'essayer des trucs du genre f(t) = (1+t) ln(1+t), et effectivement, c'est convexe, croissant, et limite de f(t)/t est bien égale à + infini, mais ce n'est jamais comparable à un t^p avec p>1...

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rvz

rvz · 28/11/2006, 16h41

Citation:

Posté par edpiste

Je refais une petite tentative, au cas où ça intéresse quelqu'un.
Problème simplifié :

Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t>0,

$f(t+1)\ge 2f(t)$ .

Montrer ou infirmer que

$f(2t)>Cf(t)^2$ ,

On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

Question plus dure.
Cas critique : f(t) = 2^t. Dans ce cas, f(2t) est de l'ordre de f(t)^2.
Autre essai :
$f(t) = 2^t exp(\sqrt{t})$
Dans ce cas, on a toutes les hypothèses, y compris la convexité en l'infini. Mais il se trouve que f(2t)/f(t)^2 est de l'ordre de exp(\sqrt{2t} - 2\sqrt{t}) qui tend vers 0 quand t tend vers l'infini.

Ces contre exemples te conviennent-ils ?

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rvz

edpiste · 28/11/2006, 21h44

oui désolé je me suis planté dans le premier énoncé.
Merci pour les contre-exemple en exponentielle racine de t, je vais le méditer.

edpiste · 28/11/2006, 22h09

Posons g(t)=f(t)/2^t. Alors g vérifie

g(t+1)> g(t)

Donc, pour n'importe quelle fonction g croissante, f(t)=2^tg(t) vérifie l'hypothèse principale.

Bon, je vais chercher une meilleure formulation du problème.

Merci en tous cas rvz, tu as toujours des idées intéressantes.

rvz · 29/11/2006, 10h56

Citation:

Posté par edpiste

Merci en tous cas rvz, tu as toujours des idées intéressantes.

En fait, j'ai souvent l'impression qu'on bosse sur des trucs assez proches... Ceci explique peut-être cela.

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rvz