axiome

[karatekator]

Salut tout le monde!!!

Des mathematiciens comme n.Bourbaki par exemple(c'est un groupe de plusieurs mathematiciens) on cherchez a axiomiser toute les mathematique!!!

Est ce vraiment utile ou est ce seulement pour s'amuser???

[doryphore]

Ca permet de vérifier qu'on n'a pas fait d'hypothèses trop fortes au départ et ainsi d'éviter de passer à côté de choses comme les géométries non euclidiennes par exemple.

[Titania]

Salut !
Je ne suis pas un spécialiste des Bourbaki mais l'axiomatisation des mathématiques est essentielle! En effet, les mathématiques reposent sur la démonstration et une démonstration nécessite nécessairement une proposition initiale que l'on suppose vraie pour aboutir par la suite à une conclusion nécessairement vraie.
Il faut au départ partir d'axiomes pour pouvoir "faire" des mathématiques.
Je peux prendre un exemple concret :
Les paradoxes ensembilistes de Bertrand Russel mettaient en évidence des failles dans la théorie des ensembles de Cantor. Ainsi, de nouveaux axiomes de départ ont été énoncés et aujourd'hui, l'axiomatisation la plus communément utilisée est celle de Zermelo-Fraenkel, dont les axiomes (et plus particulièrement le n°7) ne "conduisent " plus aux paradoxes ensembilistes de Russell. Une base cohérente, comme celles établies par le groupe Bourbaki, est la condition sine qua non à des mathématiques rigoureuses et cohérentes !
Bonne journée.

[karatekator]

Tout a fait d'accord!!!

Cependant sauf si l'on cherche les paradoxe volontairement,on ne les rencontre pas! j'me trompe???

En effet les mathematicien s'en sont passer pendant longtemps et il n'en on pas souffert...(enfin j'crois)

[Titania]

Même s'il faut faire une recherche pour trouver les paradoxes, il n'en reste pas moins que ces derniers constituent des failles dans une théorie et cette théorie doit alors être remise en question, souvent par l'auteur lui-même de cette théorie !
Bonne soirée.

[Jedeki]

Citation:

Posté par karatekator

Tout a fait d'accord!!!

Cependant sauf si l'on cherche les paradoxe volontairement,on ne les rencontre pas! j'me trompe???

En effet les mathematicien s'en sont passer pendant longtemps et il n'en on pas souffert...(enfin j'crois)

malheureusement de nombreux mathématiciens ont souffert des lacunes axiomatiques. Lors de la crise des fondements, il y a même eu quelques suicides lorsque on s'est rendu compte que certains sujets étaient complétement absurde. Les suicides ont d'ailleurs recommencé lorsque Gödel a démontré ces théorèmes d'incomplétude. Afin de limiter les dégats, ces théorèmes furent mis au rang de "curiosité mathématique" et on aime pas trop en parler aujourd'hui, puisque précisement, on ne peut pas savoir si oui ou non on va tomber sur un paradoxe...

[karatekator]

On continue toujours d'axiomatiser ou est ce que c'est aujourd'hui terminer???

[Titania]

Je n'ai pas d'exemple précis en tête mais je ne vois pas pourquoi l'on axiomatiserai plus aujourd'hui. L'axiomatisation fait parti des mathématiques donc on axiomatise toujours à mon avis.
Bonne nuit !

[Jedeki]

rien n'est réellement terminé, la logique travaille toujours mais depuis Gödel, avec moins de conviction puisqu'on ne prouvera jamais que les mathématiques sont sans contradiction...