Valeur approchée

nassoufa_02 · 04/12/2006, 00h57

bonsoir tout le monde ..

j'ai peut être une question qui peut vous paraître évidente en tout cas pas pour moi à cet heure ci ..

après avoir buter sur un très gros exercice ..
je trouve $\int_{0}^{1} t^t\, dt =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$
et je veux déterminer une valeur approché à $10^{-2}$ près de cette intègrale impropre .je voulais majorer par le 1er terme (critère des séries altèrnée ) mais ca donne 1/n qui diverge
bref je sais pas comment faire
pourriez vous m'aider svp ?

Merci d'avance

indian58 · 04/12/2006, 08h17

C'est une série alternée vérifiant le critère spécial. Donc le reste est majorée en valeur absolue par $\frac{1}{(n+1)^{n+1}}$ ; terme que tu veux inférieur à 10^-2. Résoud cette inéquation numériquement et prends le plus grand n0 convenant. Alors ta quantité recherchée vaut $\sum_{n=1}^{n_0} \frac{(1-)^{n-1}}{n^n}$ .

nassoufa_02 · 04/12/2006, 12h21

Exact !

la valeur recherché est donc 0,78

Merci beaucoup!

indian58 · 04/12/2006, 15h26

Par curiosité (et parce que je ne m'en souviens plus), comment tu la trouves cette égalité?

nassoufa_02 · 04/12/2006, 19h43

Oui alors
On a |Rn|<=10-2 or c'est une serie alternée donc |Rn|<=|u_(n+1)|.

Il faut donc trouver n tel que |1/n^n|<=0.01 ici n =4 convient donc:

|R_3|<=0.01 cad |S-S_3|<=0.01 (la convergence est tres rapide).

Donc tu n'as plus qu'a calculer S3 qui vaut 1-1/4+1/27=0.78...

P.S:
1/Résultat vérifié sous Maple .
2/ cette intégrale ne peut pas s'exprimer avec les fonctions usuelles en nombre fini.
Elle est connue sous le nom de "Sophomore's Dream" :
http://mathworld.wolfram.com/SophomoresDream.html

Cordialement .

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