rotationnel, divergent, gradient!

[invite30d0da2f]

Salut!

En mathématiques, on utilise les divergents, rotationnels, gradients.
Mais qui peut me donner une explication explicite et simplifiée de ces termes?

Merci
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[doryphore]

Tu peux regarder ici!
http://www.sciences-en-ligne.com/mom...1/Maxwell.html

Personnellement j'ai un peu oublié, mais un physicien spécialiste en thermodynamique ou en optique les manipule assez régulièrement et pourra peut-être t'aider à donner du sens à ces notions.

[Jeanpaul]

Les noms n'ont pas été donnés au hasard.
Le gradient signifie "la pente" (c'est le mot anglais, avec "slope"). On voit bien que la pente donne la variation d'altitude quand on se déplace. Le champ électrique est la pente du potentiel électrostatique.

La divergence caractérise un flux de particules qui vient de quelque part, d'une source, ou qui y va. Si la divergence n'est pas nulle, c'est qu'il y a concentration autour d'un point, donc la densité augmente (ou diminue, c'est selon le signe). Ca peut être la densité de charges électriques ou bien la masse volumique en kg/m^3. D'où le fameux théorème qui dit que le flux (ce qui passe dans une surface) est égal à l'intégrale de la divergence (ce qui reste).

Le rotationnel caractérise l'existence d'un tourbillon, c'est très utilisé en mécanique des fluides. S'il y a un tourbillon, on peut suivre une ligne de courant sur une courbe fermée sans qu'elle change de sens : la circulation ne sera pas nulle (elle vaut l'intégrale du rotationnel).

[invite30d0da2f]

OK!!Merci les gens!!
Ca m'éclaire un peu plus à présent bien que je ne les maitrise pas encore parfaitement!

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Le gradient je crois que c'est Nabla scalaire ta fonction et que le rotationnel c'est Nabla vectoriel ta fonction.
La divergence j'en ai eu une définition imbittable et je ne m'en suis jamais servi, donc....

[Rincevent]

Le gradient je crois que c'est Nabla scalaire ta fonction et que le rotationnel c'est Nabla vectoriel ta fonction. La divergence j'en ai eu une définition imbittable et je ne m'en suis jamais servi, donc....

un peu rapides tes rappels ... ils sont valables, mais uniquement dans un système de coordonnées cartésiens et si on ne cherche pas à les utiliser dans des calculs faisant intervenir plusieurs fois l'opérateur nabla. Parmi les nuances:

- le gradient est une application de l'espace des fonctions scalaires vers celui des fonctions vectorielles (donc pas de produit scalaire comme tu le mentionnes)
- le rotationnel associe une fonction vectorielle à une fonction vectorielle (avec en effet dans le cas cartésien le produit vectoriel que tu mentionnes)
- quant à la divergence, elle associe une fonction scalaire à une fonction vectorielle: c'est elle qui peut s'écrire comme le produit scalaire entre le "vecteur nabla" et le vecteur initial.

tout ça est résumé là:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_vectorielle (où on complètera d'ailleurs les infos étymologiques de jean-paul avec le rappel de l'origine du mot "nabla" )

pour des définitions mathématiques propres et pas nécessairement limitées à l'espace euclidien tridimensionnel, ça devient très joli et ça fait appel à des trucs comme les algèbres de Clifford et le calcul différentiel extérieur de Cartan...

sinon ce que jean-paul a très bien expliqué est illustré ici:
http://www.cegepat.qc.ca/tphysique/Opera.htm

[Quinto]

Rincevent:
Tu sais, j'ai appris ca en sup en mécanique.
Le prof, nous disait:
vous verrez ca en maths, et nous a filé ces définitions ci.

En maths on a eu droit à
"vous l'avez vu en physique, je ne reviens pas dessus"

Alors c'est vrai qu'on peut définir ca plus proprement (somme des dérivées partielles par rapport à telle ou telel variable) mais j'avoue ne pas avoir véritablement été briefé correctement dessus, et ne travaillant pas sur des champs de vecteurs de manière courante, ca me manque pas.

Merci de ces précisions cependant

[Rincevent]

Tu sais, j'ai appris ca en sup en mécanique.
Le prof, nous disait:
vous verrez ca en maths, et nous a filé ces définitions ci.

En maths on a eu droit à
"vous l'avez vu en physique, je ne reviens pas dessus"

je me doute bien... j'ai entendu la même chose quand j'y étais

[Quinto]

Je crois que c'est peut etre trop complexe d'expliquer théoriquement les outils et la théorie qui sont derrière en sup?
J'ai mieux vu ces objets en seconde année sans vraiment approfondir, mais on ne s'en est pas plus servi...

[Rincevent]

Je crois que c'est peut etre trop complexe d'expliquer théoriquement les outils et la théorie qui sont derrière en sup?

je dirais que pour faire les choses de manière minimale mais propre tu n'as besoin que de trucs d'algèbre linéaire et/ou calcul différentiel déjà vus en sup... à première vue, faut connaître les bases sur les tenseurs et sur les coordonnées curvilignes (des histoires de connexions, mais sans mots grossiers).

donc ça me paraît pas impossible. Mais peut-être pas nécessaire non plus...

[invitec0352266]

En mécanique des fluides, le divergent est associé au phénomène
de dilatation pour une particule de fluide donnée. Si le fluide
est imcompressible, en gros ses particules ne se dilatent pas et on a
div j = 0 (idée intutive de la chose)

Par contre je me demandais s'il n'y avait pas une analogie avec les torseurs:
la résultante d'un torseur cinétique va donner la partie translation du
mouvement, alors que le moment va donner des informations sur le côté rotatif du mouvement. Est ce qu'on ne peut pas rapprocher ça du divergent et du rotationnel ?

Merci

[invite51f4efbf]

La divergence j'en ai eu une définition imbittable et je ne m'en suis jamais servi, donc....

Un truc du genre divF = _*d_*F^b ?

[Quinto]

Non même pas, j'ai eu une description physique de 4lignes comme définition.
C'était une explication et non une vraie définition.
Je t'avoue ne toujours pas savoir ce que celà représente...