Equation fonctionnelle

[nicolasaubanel]

Bonjour ,
Est ce que quelqu'un aurait deja traite un exercice avec equation fonctionnelle de ce type:

f(2x)=2*f(x)/(1+f(x)^2)

L'exo est assez long, si ca vous dit quelque chose dite le moi( je peux scanner l'exo)
Ps:je suis en prepa a thiers et je galere pour le faire

Merci

[IceDL]

Salut,

Je vois que personne ne t'as répondu mais bon là comme ça, ce n'est pas facile de trouver la réponse.
On a quand même l'impression que la fonction tangente vérifie la relation si ça peut t'aider.

Dis nous où tu est bloqué dans l'exercice.

[Taar]

Salut !

Vu l'équation il semble logique de penser que f va être une tangente hyperbolique ou un machin apparenté. Le commentaire de IceDL va d'ailleurs dans ce sens (à "hyperbolique" près ).

On pose donc y(x)=arctanh(f(x)), où y est une fonction inconnue. Pour cela on suppose au préalable que -1<f<1.

Après ça, l'équation devient tanh(y(2x))=tanh(2y(x)), d'où, comme tanh est injective : y(2x)=2y(x). Et on retrouve une équation fonctionnelle classique.

Après quelques griffonnages voici où j'en suis (je suppose que f est définie sur R et continue en 0, et je pose g(x)=2x/(1+x²) ) :

1. on constate que (étude de g)
2. on constate que (grâce à 1.) ;
3a. si on trouve un x tel que f(x)=1, alors forcément f(x/2)=1 (étude de g) ; par continuité en 0, f(0)=1 ;
3b. si on trouve un x tel que f(x)=-1, alors forcément f(x/2)=-1 (étude de g) ; par continuité en 0, f(0)=-1 ;
4. si on trouve un x tel que |f(x)|<1, alors 2. et la continuité en 0 entraînent que f(0)=0 (les seules valeurs possibles pour f(0) étant -1, 0 et 1) ;
5. donc les cas 3a., 3b. et 4. sont mutuellement incompatibles.

Ainsi, soit f=1, soit f=-1, soit |f|<1.

Dis-moi si tout cela a le moindre rapport avec ton énoncé.

[zinia]

Envoyé par Taar

Ainsi, soit f=1, soit f=-1, soit |f|<1.

Pas mal, il reste à montrer que si f n'est pas constante, elle ressemble à la tangente hyperbolique.
On peut poser et la relation fonctionnelle devient alors h(2x)=h²(x)

[nicolasaubanel]

Merci a tous ça me fait avancer