cos(x+y)+cos(x)=0

[ag21630]

Bonjour,

Je cherche les valeurs que peuvent prendre x et y

pour x variant de 0 à Pi
et y variant de 0 à Pi

Merci

[Ganash]

cos(x+y)+cos(x)=0
cos(x+y)=-cos(x)
cos(x+y)=cos(x+pi)
y=pi
x appartient à l'intervalle [0;pi]

[Gaétan]

"y" peut être interprété comme étant le déphasage entre deux ondes de manière à ce qu'elles s'annulent.

[doryphore]

Pour être rigoureux dans la résolution de l'équation, il ne faut peut-être pas oublier dans un premier temps le cas où x+y=-x-Pi [2Pi]

et remarquer alors seulement que si x décrit [0,Pi], y décrit [-3Pi, -Pi].

Et les intervalles de x et de y, c'est à 2kPi près ou pas.

[Ganash]

Citation:

et remarquer alors seulement que si x décrit [0,Pi], y décrit [-3Pi, -Pi].

Ben oui mais non, y n'appartient pas à [0;pi] dans ce cas la.
(en fait c'est ce que tu as voulu préciser non ?)

[Gaétan]

Ah oué.
y = 0 est solution
mais
y = - 2x + pi est aussi solution
Fallait pas l'oublier.

[doryphore]

En fait, il faut faire très attention à l'énoncé.

Est-ce que y doit être dans [0, Pi] ou dans [0, Pi] + 2k Pi ??

C'est sur ce point que je voulais attirer l'attention de ag21630.

[Ganash]

Citation:

y = 0 est solution

Pas du tout.

Citation:

y = - 2x + pi est aussi solution

Mea maxima culpa

[Ganash]

Désolé je ne sais pas effacer un message

[Gaétan]

Barf, je m'embrouille.
Pour y = 0, j'ai écrit trop vite, c'est y = pi que je voulais écrire.

J'ai ça,
cos(x+y) = - cos(x) = cos(x+pi)
mais aussi
= cos(x-pi)
c'est du chipottage pour rester dans l'interval
et
= cos(pi-x)
d'où d'une part
y = pi
et d'autre part,
y = - 2x + pi
qui doit être vrai pour tout x.
Par emple pour x = 30°, y = 120°, et cos(150°) = - cos(30°).

Mais euh... Y a des messages qui disparaissent.

[Ganash]

Effectivement mais çà laisse des traces

cos(x+y)+cos(x)=0
cos(x+y)=-cos(x)
cos(x+y)=cos(x+pi)=cos(x-pi) [=cos(pi-x) mais cela redonne les solutions de cos(x-pi)]

On a 4 cas :

1) x+y=x+pi
y = pi et x appartient à [0;pi]

2) x+y=-x-pi
Je ne vois pas comment le résoudre puisqu'on ne peut qu'exprimer y en fonction de x et x en fonction de y

3) x+y=x-pi
y=-pi (l'intervalle de l'hypothèse n'est pas respecté)

4) x+y=-x+pi
Je ne vois pas comment le résoudre puisqu'on ne peut qu'exprimer y en fonction de x et x en fonction de y

Pour le cas 2) et 4), on peut quand même connaître les valeurs de x pour y décrivant [0;pi] et inversement mais je ne vois pas comment aller plus loin.

[doryphore]

2) y=-2x-pi

Pour tout x dans [0,pi], y est dans [-pi,-3pi] donc pas de solution dans l'ensemble [0,pi]x[0,pi]

4) y=-2x+pi

y est dans [0,pi] seulement quand x est dans [0,pi/2]

L'ensemble des solutions est l'ensemble {(x,y)/ x est dans [0,pi/2] et y=-2x+pi}

Conclusion: L'ensemble des solutions est:

{(x,y)/ x in {0,pi} et y=pi} U {(x,y)/ x in [0,pi/2] et y=-2x+pi}

[ag21630]

Merci pour tout ce beau travail...



Je suis d'accord avec
y=-2x+Pi et y=Pi

Merci encore à tous !

[Ganash]

N'oublie pas que pour y=-2x+pi, x E [0;pi/2] sinon c'est faux

[ag21630]

Oui merci...