Point isolé ?

[Gpadide]

Bonjour, je ne comprends pas comment ca peut exister un "point isolé" . Si on considere un singleton, et une suite a valeurs dans ce singleton, c forcément une suite constante égale a la valeur de l'élément donc elle converge vers l'élément, donc le singleton est toujours fermé non ?

[Ksilver]

Salut !


tu commet une petite erreur tres classique : ouvert n'est pas la négation de fermé.

si tu considère l'espace {0}U[1,2] munie de la topologie usuelle de R, alors effectivement {0} est un fermé, mais c'est aussi un ouvert : son complaimenaitre [1,2] est fermé !

[homotopie]

Envoyé par Gpadide

Bonjour, je ne comprends pas comment ca peut exister un "point isolé" . Si on considere un singleton, et une suite a valeurs dans ce singleton, c forcément une suite constante égale a la valeur de l'élément donc elle converge vers l'élément, donc le singleton est toujours fermé non ?

Bonjour,
dans la définition usuelle de points isolés les éléments de la suite doivent être distincts de ce point.
Exemple E=[0,1] U {2}, métrique usuelle le point 2 est isolé dans E.

EDIT : grillé par Ksilver

[Ksilver]

mais je pense qu'il fait réference à cette définition plutot :


dans un espace taupologique E, un point x est dit isolé si {x} est ouvert.

[homotopie]

Envoyé par Ksilver

dans un espace taupologique E

C'est un espace avec des trous ? (j'ai pas pu m'en empécher )

Plus sérieusement après relecture je pense que tu as raison par rapport à la définition utilisée.
Je reformule donc ma remarque :
pour montrer que {x} n'est pas ouvert, il faut exhiber une suite d'éléments distincts de x convergeant vers x.

[dajety]

dans un espace topologique on peut parler de suites comme ça???
Ne faut il pas se placer dans un espace métrique pour pouvoir utiliser la caractérisation sequentielle d'un ouvert???

[Gwyddon]

Effectivement, très bonne remarque

Dans le cas général, il faut montrer que le complémentaire est un fermé.

[dajety]

en même temps ca parait difficile dans le cadre général vu que la donnée d'une topologie par définition c'est la donnée d'une famille d'ouverts....et alros on tourne un peu en rond....
Pour revenir a la question de glapide vu quil parle de suite on se place tout de suite dans un métrique et ca resout le probleme ,non?

[erik]

Pour revenir a la question de glapide vu quil parle de suite on se place tout de suite dans un métrique

Je ne comprend pas ta remarque, pourquoi serait on forcément dans un espace métrique ?
On peut très bien parler de suite dans un espace topologique quelconque (c'est à dire sans que soit donnée une distance)

[Gwyddon]

Il faut que l'espace soit séparé je crois pour que l'on puisse parler de suite (à confirmer !)

[erik]

D'accord, il faut que l'espace soit séparé pour qu'une suite admette au plus une limite (ce qui est plus pratique ).

Mais si metrique=>séparé, l'inverse n'est pas vrai.

On peux très bien parler de suite dans un espace topo (bon ok au moins séparé, sinon on perd des truc) pas forcément métrique.

[Gwyddon]

Tout à fait d'accord

[homotopie]

Envoyé par homotopie

pour montrer que {x} n'est pas ouvert, il faut exhiber une suite d'éléments distincts de x convergeant vers x.

La définition de convergence d'une suite valable pour tous les espaces topologiques est :
(un) converge vers l si pour tout ouvert U contenant l alors il existe un rang n0 tel que n>=n0=>un est dans U.

Maintenant si une suite (un) d'éléments de X\{x} (où X est muni d'une toplogie) converge pour cette topologie vers x alors {x} est un ensemble contenant x mais ne contenant pas les termes de la suite à partir d'un certain rang donc la conclusion de la définition est fausse donc quelque chose dans l'hypothèse est faux et le seul point qui peut l'être ici c'est {x} est un ouvert. {x} n'est donc pas ouvert.
La réciproque n'est pas nécessairement vraie. (pas de contre-exemple à donner là présentement)

Mon "il faut" n'était pas un "il faut" logique ({x} non ouvert=>il existe ...suite...) mais "pratique" : si on veut montrer par les suites que {x} n'est pas ouvert (ce qui est faisable) on ne peut pas prendre la suite constante (un=x) car pour une preuve par cette voie là n'est valide que si on prend une suite d'éléments distincs de x (si vous voulez faire un assemblage et que vous choississez de planter un clou pour le faire proprement il faut prendre un marteau maintenant vous pouvez mettre des vis ).

Il est vrai que ce "il faut" n'était pas très précis cependant je rappelle que ce n'est pas parce que certaines caractérisations séquentielles chez les espaces métriques ne se généralisent pas à tous les espaces topolgiques qu'aucune propriété de ce type ne reste vraie. Dans les caractérisations du type : chez les espaces métriques il y a équivalence entre propriété toplogique bidule<=>il existe une suite telle que bazar, le plus souvent dans le cas général des espaces topologiques il existe=>bidule reste vraie , le sens bidule=>il existe une suite... est souvent fausse. Pour les "pour toute suite...<=>bidule" c'est l'inverse. C'est à manier avec des pincettes, certes.

Cordialement