c'est vraiment un devoir très abstrait...

blinki974 · 15/01/2007, 09h46

Bonjour à tous
j'ai un DM à faire pour la semaine prochaine et malgrè mes réflexions je n'arrive pas à trouver la solution.
Pouvez vous m'aider svp? J'ai vraiment du mal à répondre à ces questions... merci d'avance.

Soit (a,b) appartenant à (R⁺_*)².

1) montrer que l'intersection de aZ et de bZ = {0} ou cZ avec c appartenant à R⁺_*.

2) montrer que lorsque l'intersection de aZ et bZ = {0}, alors aZ+bZ est dense dans R

3) montrer que si b/a appartient à Q, alors la somme de deux fonctions périodiques, de période respectives a et b, définies sur R, est périodique. Quelle est la période de cette somme?

4) Que dire lorsque b/a n'appartient pas à Q?

merci d'avance.
blinki

**benjy_star** · 15/01/2007, 10h21

Salut !

Désolé, on ne fera pas l'exercice à ta place ! Montre-nous que tu as cherché, et dis-nous précisément où tu bloques !

Gwyddon · 15/01/2007, 10h36

Connais-tu les résultats relatifs aux sous-groupes additifs de IR ? C'est fort utile pour cet exercice.

blinki974 · 15/01/2007, 12h20

non je n'ai pas encore vu ce programme.
pour les deux première questions vous pouvez passer

, ce sont les deux dernières qui me posent problèmes maintenant...

**homotopie** · 15/01/2007, 12h46

Bonjour,
si une fonction est périodique de période T, quel est l'ensemble des nombres T' tels que f(x+T')=f(x) ?
Si b/a est rationnel que peut-on dire de Az et bZ ?
La réponse à ces deux questions permet de répondre aux questions 3) et 4).

blinki974 · 15/01/2007, 14h56

ah bon?

GuYem · 15/01/2007, 15h51

Eh oui, peux-tu répondre aux questions de homotopie ?

blinki974 · 15/01/2007, 17h56

ben non...

GuYem · 15/01/2007, 23h03

Zut, alors on est mal barrés !

As-tu au moins une idée de la réponse ? Par exemple à la première question : si f est périodique de période T, quel est l'ensemble des nombres T' tels que pour tout x, f(x+T') = f(x) ?

Pour un indice, cet ensemble, on en parle beaucoup dans ton devoir ....

anonymus · 15/01/2007, 23h32

Je ne m'y connais pas du tout, et c'est à peine si j'ôse m'aventurer dans le forum des maths du supérieur (

) mais il me semble que l'ensemble T' est l'ensemble des multiples de T non ?

**homotopie** · 16/01/2007, 08h59

Oui, c'est ça

c'est T.Z et là je pense que tu dois commencer à voir le lien avec le 1) et le 2)
L'ensemble des périodes de la fonction périodique de période a est l'ensemble : ?
L'ensemble des périodes de la fonction périodique de période b est l'ensemble : ?

Maintenant si b/a est rationnel b/a peut être écrit sous quelle forme? en tirer une conséquence sur aZ et bZ.

Bloud · 16/01/2007, 09h37

Euh... Si je prends la fonction caractéristique des rationnels, il existe plein d'autres périodes non ? (en l'occurence, tous les rationnels en sont sans pour autant être tous multiples l'un de l'autre).

**homotopie** · 16/01/2007, 12h13

Citation:

Posté par Bloud

Euh... Si je prends la fonction caractéristique des rationnels, il existe plein d'autres périodes non ? (en l'occurence, tous les rationnels en sont sans pour autant être tous multiples l'un de l'autre).

Bonjour,
dans l'absolu tu as raison. mais ici il est écrit "Les fonctions sont périodiques de période respectives a et b" dans l'énoncé. Ce dernier précise dès le début que a et b sont non nuls. Quand on parle ainsi de période pour une fonction c'est, je crois, la plus petite période strictement positive, ceci exclut les cas exotiques comme la fonction caractéristique de Q.
Cordialement

Gwyddon · 16/01/2007, 13h03

Citation:

Posté par homotopie

sont non nuls. Quand on parle ainsi de période pour une fonction c'est, je crois, la plus petite période strictement positive, ceci exclut les cas exotiques comme la fonction caractéristique de Q.
Cordialement

Exactement, c'est ce qui permet d'écrire que le groupe additifs des périodes sur IR est de la forme T*Z non ?

**homotopie** · 16/01/2007, 14h59

Citation:

Posté par Gwyddon

Exactement, c'est ce qui permet d'écrire que le groupe additifs des périodes sur IR est de la forme T*Z non ?

Je pense en tout cas.
Ce dont je suis sûr :
1) l'ensemble des périodes d'une fonction définie sur R forme un sous-groupe additif de R (quitte à ce qu'il soit réduit à {0} dans le cas des fonctions non-périodiques, le cas extrême "opposé" étant les fonctions constantes pour lequel c'est R tout entier)
2) ce groupe additif est soit de la forme t.Z (t pouvant être nul) ou est dense (comme pour la fonction caractéristique de Q)
Ce que je pense est que si on dit que "une fonction est périodique de période T", il est entendu que T est la plus petite des périodes strictement positives.
Si c'est bien le cas cela exclut le cas dégénéré T=0 et les cas "exotiques" où le groupe des périodes est dense.
Maintenant une chose dont je suis à peu près sûr est que vu l'énoncé c'est que celui-ci se place dans le cas "t.Z".

blinki974 évite de paniquer (

) tu n'as pas forcément du comprendre tout des derniers posts mais je pense que tu peux prendre en toute tranquilité le résultat suivant :
les périodes des

Citation:

Posté par blinki974

deux fonctions périodiques, de période respectives a et b, définies sur R

sont respectivement aZ et bZ.

EDIT : remarque tu peux très bien avoir tout compris, la théorie des groupes et l'étude des sous-groupes de R étant souvent fait en début d'études supérieures.

Gwyddon · 16/01/2007, 15h59

Sinon ici :

http://forums.futura-sciences.com/thread102468.html

post #11, une étude des sous-groupes additifs de IR

Bloud · 16/01/2007, 22h12

Citation:

Posté par homotopie

2) Ce que je pense est que si on dit que "une fonction est périodique de période T", il est entendu que T est la plus petite des périodes strictement positives.
Si c'est bien le cas cela exclut le cas dégénéré T=0 et les cas "exotiques" où le groupe des périodes est dense.
Maintenant une chose dont je suis à peu près sûr est que vu l'énoncé c'est que celui-ci se place dans le cas "t.Z".

Oui j'avais bien compris que dans le cadre de l'exercice, mon exemple n'apportait pas grand chose. Mais c'est juste que j'aime les cas "exotiques"

(ça peut pas faire de mal!

)

blinki974 · 17/01/2007, 09h24

merci je pense que vous m'avez donné assez de piste...