densité

jameso · 22/07/2004, 20h28

bonsoir à tous,ma question concerne la notion de densité

on sait et on démontre que Q est dense ds R, que GLn(K) est dense ds Mn(K)...

mais comment peut on "interpréter" (de maniere intuitive si possible) la notion de densité ? (ds ces 2 exemples ou ds d'autres)
j'ai bcp de mal à cerner cette notion de densité

on parle aussi parfois de "pousser un résultat par densité"
qu'est ce que cela veut dire exactement?

je suis vraiment dans le flou avec la densité qui semble être une notion importante alors si qqn a une petite explication...
merci de votre aide
A+

**doryphore** · 22/07/2004, 21h17

Q est dense dans R veut dire que tout élément de R est la limite d'une suite d'éléments de Q. On peut approcher un réel "d'aussi près que l'on veut" par une suite de rationnels.

mach3 · 23/07/2004, 15h28

salut, j'ai comme vague souvenir de DEUG, que dire que Q est dense dans R, c'est en fait qu'il existe toujours un réel compris entre 2 irrationels (qu'on peut prendre aussi proche l'un de l'autre qu'on veut), cela reviens a l'histoire de suite en somme, mais c'est plus imagé

jameso · 23/07/2004, 23h52

merci pour vos explications;

en regardant un peu de plus près je crois avoir compris qu'il y a un lien avec les boules ouvertes ( ds toute boule ouverte non vide il y a au moins un rationnel)
je ne suis pas sur d'avoir tout compris malgré tout...
alors si qqn peut confirmer...

**doryphore** · 24/07/2004, 00h08

Dans un espace muni d'une métrique, un ensemble F est dense dans E si pour tout élément x de E et pour toute boule ouverte de rayon aussi petit que tu veux centrée en x, il y a au moins un élément de F dans cette boule.

µµtt · 05/08/2004, 22h20

>> pousser un résultat par densité

Ca vient souvent (sinon toujours) avec un argument de continuité.

Un exemple : suppose que tu aies une fonction continue f telle que une propriété sur cette f fonction soit vraie pour tout rationnel. Alors il y a de forte chance qu'elle le soit pour tour réel.

. Si f(x) est constant pour tout x rationnel et f continue, que dire de f ?
. Trouver les fonctions C° sur IR telles que f(x+y)=f(x)+f(y) (équation de Cauchy).

Dans GL(C)/Mn(C), si tu peux montrer qu'une propriété est vraie pour toutes les matrices inversibles et si cette propriété dépend continuement de la matrice alors elle est toujours vraie.

Stephen · 06/08/2004, 11h06

Citation:

Posté par jameso

merci pour vos explications;

en regardant un peu de plus près je crois avoir compris qu'il y a un lien avec les boules ouvertes ( ds toute boule ouverte non vide il y a au moins un rationnel)
je ne suis pas sur d'avoir tout compris malgré tout...
alors si qqn peut confirmer...

Il y a plusieurs manières de définir la densité d'un ensemble A dans un espace topologique B. La première que l'on voit est généralement de dire que A est dense dans B si tout élément de B est limite d'une suite d'éléments de A. C'est à dire, suivant la définition de convergence d'une suite, que pour tout point x de B, et pour tout voisinage V de x, V contient tous les termes d'une suite dans A sauf un nombre fini d'entre eux. Dans cette définition, et pour les espaces métriques, on peut remplacer "voisinage" par "boule ouverte".

Ca assure ce que tu dis : dans toute boule ouverte centrée en un élément x de B, il y a au moins un élément de A (un des éléments de la suite !).

La réciproque est également vraie : supposons pour tout x de B, et pour toute boule ouverte centrée en x, il existe un élément de A dans la boule. Alors j'affirme qu'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x. En effet, je prends pour $n$ un entier naturel non nul la boule $B_n = B(x,1/n)$ . Par hypothèse, elle contient un élément de A, que je note $x_n$ . Alors $(x_n)$ est une suite dans A qui converge vers x.

Voici pour ton équivalence.

Si on veut gratter encore un peu, on peut définir la densité de la manière suivante : étant donné un espace topologique B et un sous-espace A de B, on dit que A est dense dans B si l'adhérence de A est B. Rappelons que L'adhérence de A est l'ensemble des points x de B tels que tout voisinage de x intersecte A. On peut montrer facilement qu'il s'agit du plus petit fermé contenant A, c'est à dire de l'intersection de tous les fermés contenant A. La même démonstration que précédemment te permettra de montrer que dans les espaces métriques, l'adhérence est l'ensemble des points qui sont limites d'une suite à valeurs dans A.

Si ce n'est pas clair, n'hésite pas à demander

Quinto · 06/08/2004, 11h11

Citation:

Posté par mach3

dire que Q est dense dans R, c'est en fait qu'il existe toujours un réel compris entre 2 irrationels (qu'on peut prendre aussi proche l'un de l'autre qu'on veut)

Mais c'est quand même plus délicat comme définition lorsque l'on est plus dans un ensemble ordonné ...

Ca m'amène à une question un tout petit peu hors sujet, mais qui colle un peu quand même, et que je voulais poster aujourd'hui, mais on ne va pas créer un fil pour ca:

L'adhérence d'un ensemble A, A_barre est le plus petit fermé contenant A. C'est l'ensemble des limites possibles des suites à valeurs dans A.
L'adhérence de R, notée R_barre est RU{+oo,-oo}
Pourtant le plus petit fermé contenant R est bien R lui même, non?

Stephen · 06/08/2004, 11h44

Citation:

Posté par Quinto

L'adhérence d'un ensemble A, A_barre est le plus petit fermé contenant A. C'est l'ensemble des limites possibles des suites à valeurs dans A.
L'adhérence de R, notée R_barre est RU{+oo,-oo}
Pourtant le plus petit fermé contenant R est bien R lui même, non?

C'est simple : l'adhérence d'un ensemble se définit par rapport à un autre ensemble. L'adhérence de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$ , comme tu l'as remarqué, puisque $\mathbb{R}$ est le plus petit fermé contenant $\mathbb{R}$ .

Maintenant, tu peux tout à fait t'amuser à faire la chose suivante : tu prends $\mathbb{R}$ avec sa topologie usuelle, et tu lui rajoutes artificiellement deux points notés disons $-\infty, +\infty$ . Tu étends sa topologie pour obtenir une topologie sur le nouvel ensemble. Si tu le fais correctement, c'est à dire de telle sorte que $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R} \cup \{-\infty \}$ et $\mathbb{R} \cup \{ \infty \}$ ne soient pas fermés, alors l'ensemble total est bien le plus petit fermé contenant $\mathbb{R}$ . Si tu veux un exemple de construction analogue (mais pas identique), cherche le théorème de compactification d'Alexandrov, dans lequel on rajoute un point à un espace topologique séparé localement compact (par exemple $\mathbb{R}^n$ ) et on étend sa topologie en rajoutant les complémentaires de compacts de l'ensemble initial pour obtenir un espace topologique séparé et compact dans lequel se plonge l'ensemble de départ (la sphère dans le cas de $\mathbb{R}^2$ par exemple, via la projection stéréographique).

Quinto · 06/08/2004, 11h52

Salut,
en effet je n'avais jamais vu les choses sous cet angle là.
C'est très clair, merci bien.

jameso · 08/08/2004, 13h54

bonjour à tous,

en travaillant sur l'adhérence je me suis rendu compte que je n'avais pas tout compris

voici un exemple
dans R on considere A={1/(n+1),n appartenant à N}
que dire des points 1/2 et 0 en terme de point adherent,isole ou d'accumularion de A; on me dit que 1/2 est adhérent à A mais je ne voit pas pourquoi?

j'ai beau essayer de faire des dessins je me perd dans les définitions de l'adherence(voisinages, complementaire de l'exterieur...)
ce problème est surement simple pour bcp d'entre vous mais pour moi ce n'est pas si évident...

merci d'avance
A+
jameso

Quinto · 08/08/2004, 14h09

C'est simple, 1/2 est adhérent parce qu'il appartient à ton ensemble, donc a fortiori il appartient aussi à l'adhérence de ton ensemble (le plus petit fermé contenant l'ensemble, comme 1/2 appartient a l'ensemble il appartient donc aussi au plus petit fermé contenant tout l'ensemble, c'est logique)
0 est adhérent mais aussi un point d'accumulation, puisque 0 est limite de la suite 1/(n+1) donc ca fait de lui un point adhérent, et c'est aussi un point d'accumulation car il n'appartient pas à l'ensemble.
Il appartient à la frontière de ton ensemble.

On ne fait pas de topologie en MP?????

µµtt · 08/08/2004, 15h18

Juste pour compléter :

1/2 n'est pas un point d'accumulation : il n'est pas adhérent à A\{1/2}, il n'est pas limite d'éléments de A\{1/2} si c'est plus clair.

Tiens, quels sont les points d'accumulation de A ?

**doryphore** · 08/08/2004, 15h22

Il n'y a que 0, la suite est strictement décroissante.

On peut trouver autour de tout point de la suite un voisinage dans lequel il n'y a pas une infinité de points de la suite.

µµtt · 08/08/2004, 15h29

C'était juste une question pour faire réfléchir Jameso, mais c'est pas grave ...

**doryphore** · 08/08/2004, 15h31

Ca le fera peut-être réfléchir quand même.

µµtt · 08/08/2004, 15h54

Bon, alors pour Jameso seulement (*)

Montrer que l'ensemble des points d'accumulation d'un ensemble est un fermé.

C'est pas dur mais ça fait faire de la gymnastique !

(* je déconne)

µµtt · 08/08/2004, 16h06

Un autre plus ludique :

Construire une suite u(n) (d'entiers par exemple) dont tous les éléments (les u(n)) sont des points d'accumulation de la suite en question.