Enigme

[invité576543]

Bonjour,

En espérant que ce soit nouveau (difficile sur ce forum!)...

43 personnes assises autour d'une table ronde sont munies d'un chapeau affichant un chiffre entre 1 et 7. Pendant une première phase les chapeaux affichent des chiffres changeant, sans signification (high tech, non? Ca ne sert à rien, c'est juste pour leur donner le temps de discuter de leur stratégie).

A un moment l'affichage se fixe, les valeurs étant quelconques. A partir de ce moment toute communication est interdite. Néamoins chacun peut voir l'affichage des autres chapeaux, mais pas le sien (comme d'hab!), c'est écrit gros, pas de problème.

Ensuite on interroge chacun à tour de rôle, le premier non connu à l'avance, mais l'ordre ensuite connu (sens des aiguilles d'une montre, par exemple). La question est la couleur de leur chapeau. La réponse est à chaque fois entendue par tous les autres.

Trouver la stratégie (qui a pû être discutée dans la première phase) qui maximalise le nombre de bonnes réponses.

(Pas de truc, les solutions par échange de signe, contorsion, éternuments et autre communications ne sont recherchées!)

Cordialement,
-----

[SunnySky]

La question est la couleur de leur chapeau.

J'imagine qu'on recherche plutôt le chiffre...

Première marque à battre:environ 24 bonnes réponses. Stratégie: les interrogés impairs nomment le numéro du suivant. Les interrogés pairs ne font que répéter le nombre annoncé par le précédent. 21 bonnes réponses assurées, une chance sur 7 pour chacun des 22 annonceurs impairs, donc probablement 3 autres bonnes réponses. 24 sur 43, 56% à battre.

Si on veut partir sur une autre piste, je demanderais au premier interrogé de donner la valeur 5, 6 ou 7 s'il constate que le suivant a une valeur élevée (un chiffre de 5 ou plus) et 1, 2 ou 3 si le suivant a une valeur faible (un chiffre de 3 ou moins). Il donnera la valeur 5 si le troisième à répondre a une valeur faible, 6 si ce troisième a la valeur 4 et 7 si le troisième a une valeur élevée.

Bien sûr, la stratégie est symétrique pour les valeurs faibles.

Les suivants ont une tâche plus complexe: il leur faut deviner leur nombre, mais aussi donner de l'information pour les prochains. Pour le moment, je ne sais pas exactement comment leur demander...

Et je ne suis pas sûr de pouvoir dépasser le 56% de la première stratégie. Il faudrait que chacun ait une probabilité de bonne réponse de plus de 50% tout en donnant de l'information au suivant.

J'ai hâte de voir comment cela peut se faire. Il doit y avoir une solution, mais je ne la vois pas.

À moins, bien sûr, que le premier ait le droit de donner une valeur supérieure à 7. Dans un tel cas, je vous laisse imaginer la stratégie si le premier annonce un nombre comme 776543571265424753214003650147 52016457224...

[invité576543]

J'imagine qu'on recherche plutôt le chiffre...

Oui. pour moi dans l'adaptation de la même énigme avec deux couleurs.

Cordialement,

PS: On peut faire mieux

[GillesH38a]

J'imagine qu'on recherche plutôt le chiffre...

Je préfère aussi, ça paraissait vraiment difficile sinon .

La solution de Sunnysky n'utilise pratiquement pas l'information donnée par le fait qu'on voie les 42 autres numéros, elle serait applicable si on avait une information beaucoup plus restreinte ou seuls les impairs voient le chapeau de leur voisin de droite. il y a donc surement mieux.

Je propose un autre truc :

Les 7 premiers joueurs se sacrifient en donnant des informations sur la fréquence d'apparition des chiffres de 1 à 7.
Le premier annonce le numéro porté par le joueur ayant comme rang la fréquence d'apparition du 1, en s'excluant du compte (à partir du 2e)
Le deuxième pareil pour la fréquence du 2.
etc .. jusqu'à 7.

Après chaque compare le nombre de fois qu'il voit "1" avec les rangs possibles annoncés par le joueur 1, en excluant celui-ci, puis pareil pour 2,3,...7.
Si il exclut le numéro porté par 1, il doit en voir le même nombre que lui, sauf si c'est son propre numéro , auquel cas il en verra un de moins. Il pourra en déduire donc son propre numéro en regardant pour lequel des joueurs entre 1 et 7 il ne trouve pas le bon nombre.
Il y a une ambiguité cependant quand un nombre annoncé par un des 7 premiers joueurs est porté par deux joueurs consécutifs dont l'un correspond au nombre vu par un autre joueur, et le suivant au nombre+1. Dans ce cas l'autre joueur peut hésiter de savoir quel joueur etait désigné, si c'est le premier il ne porte pas le numéro, si c'est le second il le porte. Il faut que je réflechisse pour savoir si le croisement des 7 indications est suffisante pour lever cette ambiguité..il y a peut etre un cas de figure delicat si ca se produit 2 fois, mais c'est en tout cas rare !
en excluant ce cas, les 43-7 = 36 autres joueurs ont leur numéro.

Exemple dans la chaine proposée par Sky(il y ades zéros a enlever)
"1" apparait 4 fois donc le joueur 1 annonce le no du 5e joueur (4e en se retirant de la liste), c'est à dire 4

"2" apparait 6 fois donc le 2e joueur annonce le numero du 7e c'est à dire 5. Il y a egalement un 5 en
4e et en 12e position mais les autres joueurs voient forcément le 2 5 ou 6 fois, et donc excluent qu'il apparaisse 3 fois ou 11 fois.

etc...
Le 7e joueur voit le "7" 6 fois donc annonce 3

Le 8e est d'accord avec tout le monde sauf avec le 7e joueur, puisqu'il ne voit que 5 fois "7". Il annonce donc son numero,7 et de même pour les 36 restants.

je crois que dans cette chaine il n'y a pas d'ambiguité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonsoir,

Quelqu'un a-t-il mieux?

Amicalement,

Note: Je connais en toute certitude la réponse à cette question!

[invite35452583]

Bonjour,
j'arrive à 40 certains (même avec 8 chiffres au lieu de 7)

Les 3 premiers se sacrifient :
le 1er annonce la parité du nombre d'apparition qu'il voit pour l'ensemble des nombres 1, 2, 3, 4 ;
le 2ème annonce la parité du nombre d'apparition qu'il voit pour l'ensemble des nombres 1, 2, 5, 6 ;
le 3ème annonce la parité du nombre d'apparition qu'il voit pour l'ensemble des nombres 1, 3, 5, 7.
L'annonce de la parité peut se faire par exemple en annonçant 1 si impair et 2 si pair.
A l'annonce du 1er, les 42 autres peuvent comparer avec ce qu'ils voient et ainsi deviner si leur nombre est parmi 1, 2, 3, 4 ou parmi 5, 6, 7, (8).
A l'annonce du 2ème, les 42 autres peuvent comparer avec ce qu'ils voient et ainsi deviner si leur nombre est parmi 1, 2, 5, 6 ou parmi 3, 4, 7, (8).
A l'annonce du 3ème, les 42 autres peuvent comparer avec ce qu'ils voient et ainsi deviner si leur nombre est parmi 1, 3, 5, 7ou parmi 2, 4, 6 (8).
Après ces 3 annonces, les 40 restants connaissent leur numéro.

Cordialement

EDIT : je crois que l'on peut arriver à 42 certains (non?)...du moins si on peut annoncer 0 ou 8 ou se taire...

[invite35452583]

Re,
je confirme (presque sûr ) 42 même en limitant les annonces possibles à l'annonce d'un des nombres 1,2,...,7. (Avec 8 chiffres, c'était plus simple )

Les 3 annonces du post précédent peuvent être concentrées en une seule annonce :
parité {1,2,3,4}->1 impair->0
parité {1,2,5,6}->2 impair->0
parité {1,3,5,7}->4 impair->0
On fait la somme, c'est un nombre entre 1 et 7.
0 est exclu car cela impliquerait un nombre impair or 42 est pair

Cordialement

[GillesH38a]

je crois que j'ai trouvé aussi, seul le premier nombre suffit effectivement,c'est beaucoup plus simple que mon usine à gaz .

[GillesH38a]

solution (plus simple qu'homotopie je pense)

Chaque joueur calcule la somme des nombres visibles modulo 7 +1 soit Stot -Ni+1 [7]

Seul le premier l'annonce. Ils connaissent donc Stot-N1+1. Il suffit de faire la différence entre le nombre annoncé par 1 et le leur, et de rajouter le nombre visible N1, modulo 7, et ils ont leur nombre.

[invite35452583]

solution (plus simple qu'homotopie je pense)

En effet

[_Goel_]

Je vote pour aussi !

[invité576543]

Bonjour,

La bonne réponse est effectivement 42, et la solution que j'avais est la même que celle de Gilles.

On m'a posé cette énigme avec 2 couleurs (plus simple), j'ai ensuite étudié la généralisation à un nombre plus grand -réflexe usuel de ma part comme ça peut se voir dans d'autres discussions!-, j'ai réalisé qu'il y avait une solution générale.

Le point intéressant pour moi est la notion d'information et de communication (!). Regardons quelques points du point de vue de la théorie de l'information.

Le premier ne peut rien faire de mieux que répondre n'importe quoi, aucune information ne lui permet de faire mieux. Il peut utiliser sa réponse pour véhiculer une information de un parmi 5 (log₂(5) bit).

Ensuite le manque d'information de chacun des autres est exactement de un cas sur 5, soit exactement l'information fournie par le premier. D'un point de vue Shannonien, en regardant chaque communication indépendamment, l'information peut donc être véhiculée.

En effet, s'il n'y a que deux personnes, tout le monde répond immédiatement (ou presque!) que le premier donne le nombre qu'il voit sur le chapeau du second.

Mais s'ils sont beaucoup, il n'est pas évident que le manque total d'information reste égal à un cas sur 5, ce qui est pourtant le cas, comme le montre la réponse au problème : chacun des autres reçoit l'information qui lui est nécessaire, avec un seul et même message.

Cordialement,