dérivées successives

OuTag · 22/02/2007, 23h18

Bonjour à tous,

Soit $f_{(a,b)}(x)=(ax+b)exp(ux)$
comment justifiez-vous le fait que $f_{(a,b)}$ soit $n$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$ (sans le démontrer par récurrence avec la définition...) ?

Merci.

dajety · 22/02/2007, 23h24

c'est le produit de deux fonctions n fois dérivables, donc cette fonction est n fois dérivable...

OuTag · 22/02/2007, 23h28

Effectivement, c'est ce que je pensais mais dans mon cours, il n'y a pas de "listes" de fonctions n fois dérivables sur un certain intervalle... Dois-je admettre que les fonctions dites "usuelles" sont n dérivables sur un certain intervalle ?

Ledescat · 22/02/2007, 23h32

Les fonctions usuelles ne sont pas dérivables quand et où on veut. Par exemple, la fonction racine carrée en 0.

Ici, tu as une exponentielle: l'expo est $C^{\infty}$
Tu as aussi un polynôme: tout polynôme est $C^{\infty}$
Donc le produit aussi.

dajety · 22/02/2007, 23h32

cela dépend de ton niveau... au pire cela se fait "à la main" assez rapidement ( le fait que les deux fonctions x->ax+b et x-> exp(ux) sont dérivables...) en utilisant la définition de la dérivée en un point

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