Surface minimale d'un cylindre

Jada · 01/03/2007, 09h26

Bonjour à tous,

C'est la première question de l'épreuve de physique du concours de l'X de l'année dernière en MP, mais c'est vraiment une question de maths alors je la pose ici.

On a un cylindre de rayon R, de hauteur H, de masse volumique homogène $\rho$ .
A volume fixé, on cherche les valeurs de R et H telles que la surface du cylindre soit minimale.

Je n'avais pas trouvé cette question ; un an plus tard, je rééssaye pour le fun (

) mais la solution, je la trouve à l'aide des multiplicateurs de Lagrange qui ne sont pas au programme de deuxième année si je me souviens bien.

Alors j'aimerais savoir quelle est l'autre méthode. Votre aide est la bienvenue.

Merci,
Jada

**Coincoin** · 01/03/2007, 09h47

Salut,
Il suffit d'exprimer le volume en fonction de R et H. Puis tu exprimes la surface en fonction de Ret H, tu utilises la première relation pour exprimer la surface en fonction de R et du volume. Seul R peut varier, donc la surface est extrémale lorsque dS/dR s'annule. Tu obtiens donc une relation entre R et V, et donc entre R et H.
Bref, juste du moulinage de calcul, rien de fondamentalement complexe (un lycéen courageux pourrait y arriver).

IceDL · 01/03/2007, 11h23

Salut,

La seule "astuce" de la question, c'est de ne pas oublier pour le calcul de la surface du cylindre les deux surfaces inférieures et supérieures (le dessous et le dessus) du cylindre.

Cela peut paraître élémentaire, mais quand on est plongé dans l'épreuve on peut vite l'oublier et je parle d'expérience...

Cordialement

Jada · 01/03/2007, 12h57

On a eu la même expérience alors.
C'est trop bête, en plus, je n'ai pas fait cette erreur pour la méthode des multiplicateurs, il y a de quoi avoir honte

Merci beaucoup

Citation:

Posté par IceDL

Salut,

La seule "astuce" de la question, c'est de ne pas oublier pour le calcul de la surface du cylindre les deux surfaces inférieures et supérieures (le dessous et le dessus) du cylindre.

Cela peut paraître élémentaire, mais quand on est plongé dans l'épreuve on peut vite l'oublier et je parle d'expérience...

Cordialement

carla tm · 15/09/2007, 16h09

Bonjour,
Je suis lycéenne à vrai dire je n'arrive pas à trouver pour quelle valeur de R l'air du cylindre sera minimale..!
Si j'ai bien compris :
V=hπR²
soit h=V/πR²
d'où A=2πR²+2V/R
Ensuite je dois calculer A'(dérivée de A) mais je ne vois pas où cela me mène. (sachant que je ne sait pas résoudre des équation du 3ème degré)

Merci d'avance

Flyingsquirrel · 15/09/2007, 18h05

Bonjour,

Avec $A=2 \pi R^2+\frac{2V}{R}$ on a $A'=4 \pi R-\frac{2V}{R^2}=\frac{4 \pi R^3-2V}{R^2}$ . La dérivée s'annulera pour $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}$ . On connait les racines n-ieme en terminale, non ?