Stats L3 MASS

dudule65 · 03/03/2007, 22h27

Bonjour à tous,
Deux questions me bloquent dans mon Dm:

1/ Soit (X,Y) un couple de var de densité f (téta en indice) : R²->R telle que f(x,y)=exp(-téta*x-(y/téta)) (x,y) où téta est un réel strictement positif donné

a. Montrer que X et Y sont indépendantes. Quelles sont les lois de X et Y?
b.Calculer l'espérance mathématique de la var z=XY.

je ne vois vraiment pas comment faire donc j'aimerais que vous me donniez quelques pistes voire des réponses à ces 2 questions
merci d'avance

Taar · 04/03/2007, 01h55

Salut !

Pour montrer que tes variables sont indépendantes, tu peux montrer que

$F(x_0,y_0)=F_X(x_0)F_Y(y_0)$ pour tous $x_0$ , $y_0$

C'est-à-dire que

$\int_0^{x_0}\,\int_0^{y_0}f(x, y)\, dx\,dy=\int_0^{x_0}\left(\int_ 0^ {+\infty}f(x,y)dy\right)dx\ \times\ \int_0^{y_0}\left (\int_0^{+\infty}f(x,y)dx \right)dy$

(ton couple est sur $[0;+\infty[\times[0;+\infty[$ et non pas sur $\mathbb{R}^2$ , je pense)

La loi marginale de X est donnée par la densité
$g(x)=\int_{0}^{+\infty}f(x,y)d y$

tu devrais reconnaître une loi connue.

dudule65 · 04/03/2007, 14h07

Re,

Pour ce qui est des lois de X et Y ok c'est bon , par contre pour l'indépendance je ne retrouve pas du tout l'égalité!! Cela voudrait alors dire que Xet Y ne sont pas indépendantes. Mais dans l'énoncé on nous demande de prouver l'indépendance!!

Taar · 04/03/2007, 14h36

Vérifie tes calculs ! Je trouve en calculant les intégrales que :

la loi de X est donnée par la densité $\theta\exp(-\theta x)$

la loi de Y est donnée par la densité $\frac{1}{\theta}\exp(-y/\theta)$

donc

$F_X(x_0)=1-\exp(-\theta x_0)$

et
$F_Y(y_0)=1-\exp(-y_0/\theta)$

Et je trouve bien le produit de ces deux expressions quand je calcule $F(x_0,y_0)$ :

$F(x_0,y_0)=\cdots=\int_{0}^{x_ 0} \exp(-\theta x)\,\theta\, (1-\exp(-y_0/\theta))\,dx=\cdots$