Loi binomiale

[Alpha15]

Bonjour
J'ai été absente pendant une partie des cours sur les probabilités et j'aurai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice.
Pour la première question je crois qu'il faut utiliser la loi binomiale mais quels paramètres???

Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?



On étudie dans ce problème un cas concret afin de minimiser le coût du dépistage d’une maladie.
Le but de cet exercice est de comparer l’efficacité par rapport au coût, de deux méthodes de dépistages de maladie concernant statistiquement 1% de la population sur un ensemble de 1000 personnes. On admet que les tests sont fiables à 100%.
On considère que les résultats des tests individuels constituent des évènements indépendants.
Dans la méthode A, on effectue 1000 analyses individuelles.
Dans la méthode B, on répartit les 1000 personnes en n groupes de r personnes ; on a donc nr = 1000.
Dans chaque groupe, on mélange les r prélèvements pour en faire une seule analyse, ce qui conduit à une première série de n analyses.
-Un groupe est négatif lorsqu’aucun des individus qui le composent est malade.
-Sinon, le groupe est positif et l’on procède alors à une nouvelle analyse de sang de chacune des r personnes de ce groupe.

1) Etude de la méthode B.
a) Quelle est la probabilité p pour qu’un groupe donné soit négatif ?
En déduire la probabilité q pour que ce groupe soit positif.

b) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de groupes positifs. Montrer que Y suit une loi binomiale de paramètres n et q.
En déduire E(Y).

c) Si Y désigne le nombre de groupes positifs, calculer le nombre d’analyses faites au total avec la méthode B. X désignant la variable aléatoire égale au nombre d’analyses effectuées avec la méthode B, calculer l’espérance mathématiques de X.

2) Comparaison des méthodes A et B.
a) En remplaçant 0,99^r = (1 – 1/100)^r par sa valeur approchée 1 – 100/r, montrer que E(X) = 10(r + 100/r).

b) Soit le fonction f définie sur ]0 ;1000] par f(x) = 10(x + 100/x).
Dresser le tableau de variations de f.
Résoudre l’équation f(x) = 1000 et l’inéquation f(x) < 1000.

c) En déduire les valeurs de r pour lesquelles la méthode B est en moyenne moins coûteuse que la méthode A ainsi que la valeur de r minimisant le coût de la méthode B.

[prgasp77]

Bonsoir.
Pour la question 1)b), l'évènement Y=k est réalisé lorsque k groupe exactement sont positifs et que n-k soient négatifs.
Ces deux évènements étant indépendants, P{Y=k} = q^k.(1-q)^n-k, ce qui définit bien une loi binomiale de paramètres q, n.

Quant à l'espérence, même sans court tu peux t'y retrouver, par définition,
ce que tu dois savoir calculer.

Pour la 1)c), c'est de la logique, si Y=k, X=n+kr => X = n+Yr

Voila, bonne chance pour la suite.

[Alpha15]

Merci beaucoup pour votre aide.

[prgasp77]

Si tu veux failloter, tu peux proposer une troisième méthode, similaire à la B à la différence près qu'une fois un groupe de personne dépisté positif, on n'analyse pas chacun de ses membre, mais un certain nombre de sous-groupe. À toi ensuite d'optimiser le tout

[NewBornCreation]

Bonsoir, j'aimerais juste rajouter que P{Y=k}=(n nCr k) q^k (1-q)^(n-k).

Pour l'espérance, tu as sûrement appris (ou tu vas aprendre) que E(X)=nq ici si X suit la loi binomiale B (n, q).

Voila, nCr= combinaison, k parmi n

Cordialement,

[w_c_x2]

Bonsoir, et désolé de poster dans un sujet aussi vieux mais j'ai le même exercice a faire et je ne comprend pas la question 2.a)


Merci beaucoup !!