dérivé de f(x) = a^x

[catmen]

Bonjour,
Je donne des dépanages dans des cours de calcul de niveau cegep, et normalement j'essaie dans la mesure du possible de donner une idée d'où vient les résultats que je montre. Mais lorsque j'ai voulu expliquer pourquoi la dérivé de est j'ai eu un petit problème. J'ai toujours fait ce genre de preuve avec des séries infinies, mais le problème c'est que la dérivé des fonctions exponentielles se voit dans un premier cours de calcul et que les séries infinies ne sont pas étudié avant la fin du second cours... J'ai donc essayer l'approche suivante, mais je ne suis pas capable de la complété:

je commence par appliquer la définition de la dérivé ce qui me donne
et je pose ensuite On peut montrer que existe pour tout a positif. On pose ensuite e comme étant la seule valeur tel que donc la dérivé de la fonction e^x est e^x Ensuite il ne reste plus qu'à montrer que est tout simplement la fonction ln. pour ce faire il faut montrer que ce qui revient à calculer la limite suivante: mais je ne suis pas capable de calculer cette dernière limite sans utiliser la dérivé que je veux calculer...

Alors si vous avez des idées comment calculer cette limite ou bien si vous avez d'autre suggestion d'approche qui pourrait être compris par des étudiants qui commence leur cour de calcul ce serait apprécié.

[mtheory]

Dérive logarithmiquement!

(ln f)^' =f(x)^' /f(x)

[Quinto]

Bonjour,
il suffit de définir a^x par a^x=exp(xln(a))
Ensuite on utilise la dérivée de fonctions composées.

Pour montrer que exp'=exp, il suffit de montrer que ln(exp(x))=x ainsi
ln'(exp(x))*exp'(x)=1
=
1/exp(x)*exp'(x)=1 et ainsi exp'(x)=exp(x)

Donc on a le résultat souhaité.

Sinon je vois mal comment faire...

[mtheory]

Citation:

Posté par Quinto

Bonjour,
il suffit de définir a^x par a^x=exp(xln(a))
Ensuite on utilise la dérivée de fonctions composées.

Pour montrer que exp'=exp, il suffit de montrer que ln(exp(x))=x ainsi
ln'(exp(x))*exp'(x)=1
=
1/exp(x)*exp'(x)=1 et ainsi exp'(x)=exp(x)

Donc on a le résultat souhaité.

Sinon je vois mal comment faire...

On est d'accord ,ça revient au même.

[catmen]

Pour la dérivé logarithmique ce n'est pas possible dans mon cas de l'utiliser étant donné que j'aurais besoin de la dérivé du log qui se fait habituellement en utilisant la dérivé d'une fonction exponentielle. Mais en posant je vais être capable de me débrouillé pour faire quelque chose de cohérant avec ce qu'ils ont déjà vu. Je vais utiliser la définition que j'ai fait plus haut de e avec ma fonction K(a), je définie ensuite ln(x) comme la fonction inverse de e^x , puis en utilisant la règle des fonctions composés je vais être capable de conclure.

Merci pour votre aide

[Quinto]

Pour étudier la fonction x->a^x sans connaitre sa définition par l'exponentielle (a^x=exp(xln(a))), on va la construire d'une autre manière:

On va considérer la suite (fn) définie par la suite géométrique de raison a>0, que l'on va prolonger à Z par f(-n)=1/f(n).
Ensuite on va la prolonger à Q+ par f(p/q)=racine q-ième de f(p), et à Q- par f(-p/q)=1/f(p/q)
On montre qu'elle se prolonge alors par continuité sur R tout entier, et on va poser appeler f:=x->a^x ce prolongement à R.

Pour a>1
f:=x->a^x est strictement croissante sur R (->injective)

f(0)=1 et lim f en +oo =+oo (en passant par exemple par la suite géométrique de raison a par exemple)

Donc f est surjective dans [1,+oo[ et donc bijective de R dans [1,+oo[, donc g admet une réciproque notée g.

pour 0<a<1
f est strictement décroissante non bornée et positive, donc f est injective et admet une limite finie en +oo, et une limite infinie en -oo.
Comme f admet une limite finie, on peut la chercher et on sait que pour toute suite (un) qui diverge vers l'infini (f(un)) converge vers la limite de f en +oo.
En particulier, la suite géométrique de raison a convient, et celle ci converge vers 0.
Donc f tend vers 0 lorsque x tend vers +oo.

Donc f est bijective de R dans ]-oo,0[ dans ce cas.

En discutant sur a, on change juste les ensembles, mais on arrive aux mêmes conclusions en partant des mêmes hypothèses:
f(g)(x)=x pour tout x.
On admet que f est dérivable.
on a donc f'(g(x))*g'(x)=1

f'(x)=lim(x^(a+h)-x^a)/h) lorsque h->0
f'(x)=a^x*lim((a^h-1)/h) lorsque h->0

Notons k(a) cette limite, on sait qu'elle est non nulle et même positive pour a>1 et négative pour a<1 (f est strictement croissante lorsque a>1 et strictement décroissante sinon)

On remarque alors au passage que f est dérivable sur R si et seulement si f est dérivable en 0.(c'est même plus fort que ca, f est dérivable en un point de R si et seulement si f est dérivable en 0)


f'(x)=k(a)a^x

f'(g(x))g'(x)=1
k(a)*x*g'(x)=1
d'où

g'(x)=1/(k(a)*x)
D'où sur R+
g(x)=ln(x)/k(a) (pas besoin de connaitre la fonction ln, il suffit juste de l'introduire comme fonction dont la dérivée est x->1/x, c'est ce que je fais ici)
(et sur R- g(x)=ln(-x)/k(a))

on continue sur R+

Normalement les élèves doivent connaitre la propriété suivante:
a^(n+k)=(a^n)(a^k) au moins pour n et k entiers
(c'est vrai que c'est un peu le serpent qui se mord la queue, mais je ne sais pas bien ce qui est acquis ou non par les élèves en question, mais meme si ce résultat n'est pas véritablement démontré, il doit être acquis depuis la 3e, mais ca doit se faire par récurrence, ce qui doit donc etre compatible avec ma démonstration)

Ainsi, f(n+k)=f(n)f(k)

g(f(n+k))=n+k
g(f(n))=n
g(f(k))=k

et donc g(f(n+k))=g(f(n)f(k))=g(f(n))+ g(f(k)) (*)

Or on a aussi que
g(f(x))=x pour tout x
en particulier pour des entiers:
g(f(n))=n (**)
d'où
ln(a^n)/k(a)

En particulier, par récurrence et d'après (*) on a
ln(a^n)/k(a)=nln(a)/k(a) pour tout entier n
or ceci vaut n pour tout entier n. (d'après (**))
On en déduit que ln(a)=k(a)

et donc que si f est dérivable alors en 0, alors f est dérivable sur R et
f'(x)=ln(a)a^x

On remarque au passage que f'(x)=f(x) si a vérifie ln(a)=1