Probabilité : loi Binomiale par loi Normale

[aureliestee]

Bonjour, voici un exercice de probabilité. Je suis bloquée à la question N°3, pouvez vous me donner des indices, je ne sais vraiment pas comment m’y prendre.
Je remercie d’avance tous ceux qui prendront du temps pour m’aider.
1ère partie : énoncé de l’exercice
2ème partie : mes réponses
Dans un certain pays, 15 % de la population est contaminée par le virus du sida. On met en place une stratégie de dépistage par un test biologique qui est négatif lorsque le sujet est sain, et positif lorsque le sujet est contaminé. On néglige les risques d’erreur du test.
1) Une campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population. Sous quelles conditions peut-on assimiler cet échantillon à un tirage avec remise ?
2) On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de tests positifs sur l’échantillon de 500 personnes. Quelle loi suit cette variable aléatoire ? Quelle est son espérance mathématique et son écart-type ?
3) On appelle E l’événement : « plus de 20% de ces 500 tests sont positifs ». Comment calculer la probabilité de cet événement ? Est-ce humainement possible ? Vous aurez à exposer l’approximation d’une loi binomiale par une loi normale (conditions d’utilisation, correction de continuité). Utilisez alors ces résultats pour la situation étudiée, et donner une valeur arrondie à 4 décimales de ce nombre.
4) De la même manière, déterminer la probabilité des évènements : E1 : »plus de la moitié de ces 200 tests sont positifs » et E2 « de 10 à 20% de ces tests sont positifs.

REPONSE 1 : La taille de l’échantillon est inférieure à 10 % de la population (500 personnes, sur des millions de gens). Donc, on assimile cet échantillon à un tirage avec remise.
REPONSE 2 : C’est la loi Binomiale, de paramètre B(500 ;0.15)
- Son espérance est E (S500) = 500 x 0.15 = 75
- Son écart type est σ (500) = √ 500 x 0.15 x 0.85 = 7.98
REPONSE 3 : Il faut ajouter les probabilités d’obtenir 101 cas, puis 102, puis 103, jusqu’à 500.
P = (X=101) + (X=102) +…..+ (X=500), le calcul est donc inhumain.
Approximation d’une loi Binomiale par une loi Normale N (75 ; 7,98)

Là je ne suis pas sûre de moi :
Je pose X* = X-75 /7.98 > 100 – 75 / 7.98

X* > 3.13 ce n’est pas possible, car je ne le retrouve pas dans ma table
Après, je suis coincée, aidez moi si vous pouvez, merci beaucoup.

Est-ce faux si j’écris cela :
P (X*> 3.1) = 1- ∏ 3.1
= 1 – O.99904
= 0.00096

P (X*> 3.2) = 1- ∏ 3.2
= 1 – O.99931
= 0. 00069

L’approximation se trouve dans l’intervalle :

0.00096 > X* > 0. 00069

REPONSE 4 : je pense qu’il y a une erreur dans l’énoncé, ce doit être : E1 : plus de la moitié de ces 500 tests sont positifs », et non 200.