Méthode du col

tpscience · 06/04/2007, 00h01

Bonjour,
je suis sur plusieurs exos là, et je bloque un peu à cette question :
Calculer le comportement asymptotique à grand $\lambda > 0$ de la fonction de Bessel modifiée :

I_0(lambda) = 1/2pi intégrale(entre -pi et pi) de exp(lambda*cos(x)) dx .

J'ai déjà fais quelques exos de bases sur cette méthode du col, et là je bloque un peu, si vous aviez une petite idée, merci

Hash · 06/04/2007, 09h29

La méthode du point col sert à obtenir un développement asymptotique d'une intégrale dont la forme générale est :
$I(\lambda) = \int f(x) e^{k g(x)} dx$
lorsque le paramètre $\lambda$ devient grand.

Pour l'utiliser, il faut chercher au préalable les "points cols", c'est-à-dire les points $x_s$ qui véréfient :
$\frac{d g}{d x} (x_s) = 0$

Dans ton cas, tu obtiens 3 points cols sur ton intervalle d'intégration : $\{-\pi,0,+\pi\}$

L'étape suivante est de faire un développement de taylor à l'ordre deux de la fonction "g" autour des points cols, c'est à dire pour toi de cos(x). Par exemple pour le point col en 0 :
$\cos(x) \approx 1 - 1/2 x^2$
alors la contribution de ton intégrale autour du point col en 0 s'écrit approximativement comme (on peut étendre le domaine d'intégration dans la mesure où l'intégrale converge rapidement) :
$I(\lambda) = e^\lambda \int_\infty^\infty e^{-\lambda/2 x^2} dx$
qui est une gaussienne qui se calcule exactement :
$I(\lambda) = e^\lambda \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}$

On peut ensuite faire pareil avec les deux autres points cols, mais on s'aperçoit qu'ils vont donner une contribution négligeable par rapport au point en 0.

En la méthode utilisée ici n'est pas la méthode du point col, mais plus exactement la méthode de la phase stationnaire (pour une intégrale de type Laplace), car la fonction g est réelle. La méthode du point col est utilisée pour les intégrations sur des domaines complexes, et implique des changements de contour d'intégration. Mais au final, bien que les méthodes soient différentes, les résultats finaux sont identiques.

vous trouverez des informations sur wikipedia ou google :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...stati onnaire

physastro · 06/04/2007, 12h25

Merci beaucoup, je vais voir ce que ça donne tout ça

tpscience · 06/04/2007, 18h21

Citation:

Posté par physastro

Merci beaucoup, je vais voir ce que ça donne tout ça

Ola physastro, tu t'y lances toi aussi dans ces exos ???

Bonne chance alors...

tpscience · 06/04/2007, 18h22

Et pour Hash merci beaucoup

physastro · 06/04/2007, 18h49

Citation:

Posté par tpscience

Ola physastro, tu t'y lances toi aussi dans ces exos ???

Bonne chance alors...

Non, du tout, c'est déjà fais toutes ces choses là...

je trouvais juste que Hash t'avais beaucoup aider...

tpscience · 13/04/2007, 13h43

Bonjour à tous,

je trouve comme résultat $I_0(\lambda) = \displaystyle{\frac {e^{\lambda}}{sqrt{2\pi\lambda }}}$ .
Si vous pouviez confirmer ou infirmer svp

Merci

Hash · 13/04/2007, 17h20

Citation:

Posté par tpscience

Bonjour à tous,

je trouve comme résultat $I_0(\lambda) = \displaystyle{\frac {e^{\lambda}}{sqrt{2\pi\lambda }}}$ .
Si vous pouviez confirmer ou infirmer svp

Merci

ça à l'air correct : dans mon calcul j'avais omis le 1/2pi devant l'intégrale, donc si on le rajoute, on trouve bien la même chose.

La meilleure des confirmations serait de faire la comparaison avec un logiciel de calcul comme Maple, Maxima, voir Matlab ou Octave, afin de mesurer quelle est l'approximation commise. Normalement, l'approximation est de l'ordre de O(1/sqrt(lambda)).