intégrales...

[FlyingMarco]

Salut à tous!
J'aimerais que vous m'expliquiez brièvement ce que c'est qu'une intégrale, et à quoi elle sert. J'ai entendu dire que c'était pour calculer l'aire d'une fonction...

Merci d'avance
A bientot
Marc

PS: Si vous connaissez un lien avec un cours sympa et facile d'accès, n'hésitez pas à me le donner

[ep31]

Dis-toi que quand tu intègres, tu fais "une moyenne".
Du style, quand tu lis une formule avec Int V, dis-toi qu'intégrer dans le Volume, c'est "moyenner" dans ce volume, c'est comme ça qu'en tout cas, que je procède pour comprendre une formule complexe, je la "traduis en français".
Matghématiquement, ça peut t'être utile pour résoudre des éq diff, calculer des moyennes aussi (c'est la première utilité vue en cours il me semble).

[ep31]

Pardon, je voulais dire des aires (pour le mathématiquement parlant) : donc calculer des aires (si je me souviens bien, c'est d'ailleurs par cette méthode que Riemann voulait calculer l'aire à partir d'une courbe ou du moins une forme non droite : en intégrant petit morceau par petit morceau).

[Jean-Marie]

Bonjour,

L'intégrale permet de calculer les aires, mais bien plus ...

Si je considère par exemple la courbe y=f(x)=x² (une bête parabole), et que je souhaite connaître l'aire comprise entre la courbe et l'axe des x, entre deux points x=a et x=b, je dois calculer l'intégrale de cette fonction entre a et b.
De manière plus générale, l'aire est positive quand la courbe est au dessus de l'axe des x (quand f(x) est positif) et négative sinon.
Comment calculer l'intégrale?
On montre que cette intégrale est la différence prise entre a et b de toute fonction dont la dérivée est égale à f(x).
La dérivée de g(x)=x³ /3 est bien f(x)
Donc l'aire entre x=a et x=b est g(b)-g(a)=(b³ -a³ )/3, pour mon exemple.
L'intégration est donc l'opération inverse de la dérivation. Il s'agit ici de l'intégrale de Riemann.

On peut généraliser cette notion à des espaces plus généraux autre que la droite réelle et à autre chose que des fonctions. On peut intégrer sur des domaines, des volumes, des courbes de l'espace, des objets qui ne sont pas forcément des fonctions.

D'un point de vue "physicien" l'intégrale de quelque chose sur un domaine est l'effet global, autrement dit le cumul des effets locaux. Si je regarde les pertes de chaleur dans mon séjour, je mesure une perte en tout point (forte aux fuites). La perte totale est l'intégrale des pertes locales.
On peut aller plus loin, toujours en physique. On montre que dans un mouvement, la vitesse est la dérivée temporelle de la distance parcourue. Autrement dit, la distance parcourue est l'intégrale de la vitesse et la distance parcourue est l'intégrale de cette vitesse entre deux instants. Je trace la vitesse en fonction du temps, je mesure l'aire, j'obtiens la distance.

On comprend toutefois que cette notion est très limitée. On a ainsi cherché à intégrer des objets plus complexes. On a ainsi créé l'intégrale de Lebesgue, qui donne un cadre plus large. On obtient alors un outil assez fabuleux.

Un peu de manière anecdotique, quand on mène des calculs numériques purs, on s'aperçoit que les méthodes qui intègrent (c'est à dire qui font des sommes) sont plus stables que celles qui dérivent (qui font des différences), car elles filtrent les incertitudes et erreurs diverses. Il est ainsi facile d'écrire un programme qui intègre numériquement à peu près n'importe quoi que d'en écrire un qui dérive des fonctions même simples (données sous forme numérique).

Ce ne sont que quelques notes très basiques. On peut aller plus loin dans ce fil si besoin.
Amicalement

JM