une péniche qui descend un fleuve.../ mise en équation - Forum Mathématiques du collège et du lycée

cati4 · 28/04/2007, 11h46

Bonjour,

J'aurais plusieurs problèmes/questions à vous poser:

1)Une péniche descend puis remonte un fleuve sur une longueur de 156 km. La descente dure 10h24 min et la remontée 17h20. Trouvez la vitesse du courant et celle de la péniche en eaux tranquilles.

Déjà je me demande si c'est 156 en tout ou aller retour. Ensuite pour moi il n'y a pas le droit de faire la moyenne de la vitesse aller et de la vitesse retour pour trouver la vitesse de la péniche (c'est à dire ne pas faire (V1+ V2)/2 mais (D1/T1)+(D2/T2). En tout cas c'est ce qu'on m'a appris, mais a priori ça marche quand même dans certaines circonstances.

2)si vous pouviez m'expliquer lesquelles, ce serait super sympa.

Bref moi j'avais pas trouvé, mais mon copain a fait (V1+V2)/2, et je me demande si c'est ça qu'il faut faire.

3) Enfin, mettons qu'une voiture fait un trajet en 4h aller retour et qu'elle va à 80 km/h à l'aller et à 120 au retour, est ce qu'on a bien le droit de dire T1= 1,5T2 et t2+1,5T2=4 ?

Merci

**Romain-des-Bois** · 28/04/2007, 11h59

Salut,

premièrement, je dirais que la longueur aller ou retour est 156km (donc 312 en tout). (on pose D =156)

ensuite, il te suffit de bien poser le problème :
v_a = vitesse à l'aller (descente)
v_r = vitesse au retour (montée)

v_a = D/t_a

v_r = D/t_r

La vitesse moyenne de la péniche, c'est par définition (v_a+v_r)/2 =V_moy

donc V_moy = (D/2)(1/t_a+1/t_b)

voilà pourquoi on a (à peu près) ta formule.

Pour ta voiture, c'est pareil, il te faut poser le problème correctement avec rigueur :

D est la distance aller

v_a = D/t_a
v_r = D/t_r

et v_moy = (v_a+v_r)/2

...

Romain

cati4 · 28/04/2007, 12h15

Alors je vais prendre un exemple avec une réponse certifiée exacte, et dont j'ai l'explication, tiré d'un bouquin qui ne peut pas se tromper (même si ça arrive de temps en temps) et j'aimerais savoir pourquoi dans cet exemple on ne peut pas "faire la moyenne arithmétique des deux vitesses:

"Vous faites un voyage aller et retour en voiture entre 2 villes distantes de 1000 km. A l'aller vous aller à la vitesse moy de 120 km/h [...] Au retour [...] vous roulez à la vitesse moyenne de 60 km à l'heure[...] Les distances parcourues à l'aller et au retour sont les mêmes.
Quelle est la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours?"

Et alors ils disent que ça fait 80 km/h
et en remarque: "Cette vitesse moyenne n'est donc pas la moyenne arithmétique des deux vitesses moyennes (on parle de moyenne harmonique): c'est une erreur classique."

**Romain-des-Bois** · 28/04/2007, 12h36

Bon OK, je t'ai (peut-être) dit des bêtises.

La définition de la vitesse moyenne, c'est :

V_moy = distance totale / temps total

Dans ton exemple :
t_a = 25/3h
t_r = 75/3h

alors V_moy = 2x1000/(t_a + t_b) = 80km/h

Romain

**Romain-des-Bois** · 28/04/2007, 12h37

Citation:

Posté par Romain-des-Bois

La vitesse moyenne de la péniche, c'est par définition (v_a+v_r)/2 =V_moy

Ceci est donc faux... Ce n'est pas la définition de la vitesse moyenne !

Gloubiscrapule · 28/04/2007, 12h40

C'est un peu le même genre de ce problème à priori facile mais pas du tout évident sans faire de calculs:

Vous faites un aller à 20km/h, alors à quelle vitesse faut-il rouler au retour pour que la moyenne de la vitesse sur l'aller retour soit de 40km/h?

Essayer d'y répondre avant de regarder la réponse:

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Gloubiscrapule · 28/04/2007, 12h47

La vitesse moyenne dans le cas de la péniche (et de la voiture) ça serait:

V_moy = 2D/(T₁ + T₂)

V_moy = 2D/(D/V₁ + D/V₂)

V_moy = 2V₁V₂/(V₁ + V₂)

cati4 · 28/04/2007, 14h16

Ce qui est particulier c'est que des fois on peut, parce que j'ai vu quelques problèmes où ça marchait.

Enfin, sinon j'ai un autre problème à vous soumettre.
On veut imprimer un livre dont le nombre de lignes sur chaque page, et celui des lettres, dans chaque ligne, est déterminé. Si l'on avait mis 3 lignes de plus par page et 4 lettres de plus par ligne, la page aurait contenu 224 lettres de plus. En mettant 2 lignes de moins par pages et 3 lettres de mons par ligne, la page aurait contenu 145 lettres de moins. Combien a-t-on mis de lignes à la page et de lettres à la ligne?

Pour moi c'était (x+3)*(y+4)= xy+224
et (x-2) (y-3)= xy-145, etc
avec x nombre de lignes par pages et y nombre de lettres par lignes mais à chaque fois je tombe sur des nombres négatifs, ou à virgule, etc.

**Romain-des-Bois** · 28/04/2007, 15h29

Citation:

Posté par cati4

Ce qui est particulier c'est que des fois on peut, parce que j'ai vu quelques problèmes où ça marchait.

Ca peut arriver, mais c'est uniquement dù au hasard des nombres choisis dans l'énoncé, quand :

2V1V2/(V1 + V2) = (V1+V2)/2

C'est à dire :
(V1+V2)² - 4V1V2 = 0

TitBoulet · 28/04/2007, 15h29

Citation:

Posté par Gloubiscrapule

C'est un peu le même genre de ce problème à priori facile mais pas du tout évident sans faire de calculs:

Vous faites un aller à 20km/h, alors à quelle vitesse faut-il rouler au retour pour que la moyenne de la vitesse sur l'aller retour soit de 40km/h?

Essayer d'y répondre avant de regarder la réponse:

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ça me semblait carrément pas logique...
mais j'ai vérifié tes calcules et c'est bien vrai!
Drôle de problème...

Gloubiscrapule · 28/04/2007, 17h26

Citation:

Posté par TitBoulet

ça me semblait carrément pas logique...
mais j'ai vérifié tes calcules et c'est bien vrai!
Drôle de problème...

En général les gens te disent tous 60... Et sans faire de calcul c'est dur à comprendre!!

Pour extrapoler, si on voulait une vitesse supérieure à 40km/h sur l'aller-retour, il faudrait le faire avec un temps négatif, donc je ne sais pas comment expliquer en terme de vitesse.