Quaternions et Géometrie

Deeprod · 13/05/2007, 13h14

Bonjour à tous,

Dans le cadre de mon TIPE de maths sup MPSI, j'ai quelques questions à vous poser sur les quaternions et surtout en termes de geometrie.
Je traite pour le moment des rotations dans l'espace gràce à l'utilisation des quaternions.
Auriez vous quelques autres pistes pour approfondir ma recherche toujours en terme de géometrie ? (Ce dans la limite de ce que je peux comprendre avec mes bagages de maths actuels)

Merci !

taladris · 13/05/2007, 13h26

Les quaternions sont très utiles pour démontrer les formules du produits vectoriel de R^3. Je n'ai malheureusement pas de référence à te donner (mais ça doit bien se trouver avec Internet)

Cordialement

Médiat · 13/05/2007, 13h36

Tu perux reagrder là : http://www.cs.indiana.edu/ftp/hanson...h01QuatCourse/, et plus particulièrement : http://www.cs.indiana.edu/ftp/hanson...e/quatvis2.pdf

Deeprod · 13/05/2007, 18h32

Merci pour vos réponses !

J'ai cependant une autre question toujours sur le même sujet,

Pour prouver que H est un groupe non commutatif, on identifie un quaternions à la matrice :

| a -b | (* est le conjugué)
| b* a* | (avec a et b complexes)

Pour justifier cette démarche, que faut-il dire ?
Il est question d'isomorphisme il me semble ?

Médiat · 13/05/2007, 18h38

Quelle définition des quaternions utilises-tu ?
Ou encore : quel représentant de la classe d'isomorphisme de corps baptisée Quaternion utilises-tu ?

Deeprod · 13/05/2007, 19h13

dans ce cas, je raisone sur les quaternions en terme de combinaison linéaire de 2 complexes.

H = C + e.C (avec e quaternions dit "unité")

Médiat · 13/05/2007, 19h37

Citation:

Posté par Deeprod

dans ce cas, je raisone sur les quaternions en terme de combinaison linéaire de 2 complexes.

H = C + e.C (avec e quaternions dit "unité")

Cette définition est insuffisante, car si je peux admettre facilement que 1e = e1 = e et que e² = 1, tu ne nous dis rien sur la définition de ei et ie. Et comme ces deux produits ne sont pas égaux (par définition), tu as ta réponse.

Deeprod · 13/05/2007, 20h02

Ok je comprend ce qui ne va pas, et cette définition devrait convenir il me semble

H = (C²,+,x,1)

Soit h un element de H, d'ecriture (a,b), h' un element de H, d'ecriture (a',b').

+ = (a+a',b+b')
x = (aa' - bb'*, b'a* + b*a'*) (avec * pour conjuué)

Donc dans ce cas, le "e" du post précédent est le doublet (0,1).
Et le produit ie et ei, d'après la définition que j'ai donné sont définie et bien different.
c'est le produit (i,0)x(0,1)

bongo1981 · 13/05/2007, 23h19

A tout hasard tu as aussi wikipedia qui est pas mal :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion