déterminant et valeurs propres

christophe_de_Berlin · 22/05/2007, 20h52

bonjour,

Il y a un truc ambigu dans mon cours sur les valeurs propres et les déterminants: il est écrit qu´"en général, le déterminant est le produit de toutes les valeurs propres".

Bon pour moi c´est clair seulement quand la matrice est diagonalisable. Dans ce cas, la matrice diagonale est aussi triangulaire (supérieure ET inférieure), et donc le déterminant est le produit des éléments diagonaux qui sont justement les valeurs propres.

Mais cette égalité est-elle vraie dans le cas général? Il me semble que non, mais mon cours n´est pas clair là-dessus

Merci d´avance

Christophe

kron · 22/05/2007, 20h55

Bonsoir

Cela peut effectivement poser problème si ta matrice n'a pas n valeurs propres, il me semble. (valeurs propres complexes pour une matrice réelle dans un espace réel, par exemple)
Sinon j'ai pas trop d'idées.

Ksilver · 22/05/2007, 21h08

C'est vrai, mais uniquement si le corps de base est algébriquement clos.

pour le prouver, tu peut triangulariser au lieux de diagonaliser, mais il y a plus simple :

les valeurs propres sont les racines du polynome charactéristique donc ( a quelque probleme de signe et de coeficient dominant pres que je te laisse éxaminer en fonction de ta définition du polynome charactéristique) le produit des racines est la valeur en 0, ie le déterminant !

**homotopie** · 22/05/2007, 21h15

C'est vrai (si on compte les vp avec multiplicité la dimension de l'espace $lim_{n->+\infty} ker((f-vp.id)^n)$ qui est bien défini car cette suite stagne à partir d'un certain n (dépendant de f et de vp)) si le polynôme caractéristique (ou le minimal, c'est équivalent bien que l'équivalence ne soit pas immédiate) est scindé sur le corps. Dans un corps algébriquement clos, C par exemple, c'est donc toujours vrai.
Contre-exemple
sur R : $\array{cos(a)&sin(a)\\-sin(a)&cos(a)$ avec a non congru à 0 modulo $\pi$ n'a pas de valeur propre, le déterminant est égal à 1
Par contre sur C, vp : $e^{ia} \,et\, e^{-ia}$ le produit est bien égal à 1.
Précision sur la parenthèse initiale :
$\array{2&1\\0&2$ admet une unique vp 2 son espace propre associé est de dimension 1, dét=4 $\neq 2^1$ mais ker((M-2Id)²)=R² la multiplicité de 2 est égal à 2 et on obtient bien $det=2^{multiplicité \,de\,la\,valeur\,propre\,de\, 2}$

christophe_de_Berlin · 22/05/2007, 21h26

Mais alors je me pose la question: si une matrice n´a pas de valeur propre, alors elle n´a pas de déterminant, ce qui est absurde.

willamette · 22/05/2007, 21h48

Salut,

Ca c'est une histoire de clôture algébrique !

Soit M une matrice à coefficients dans un corps K.
Son polynôme caractéristique est de degré n et est dans K[X].
Tu peux toujours te plonger dans une clôture algébrique (théorême de Steinitz, admis en licence) que l'on va appeler L, de K, ou tout polynôme est scindé, tes valeurs propres existent et sont dans L.

Pour faire plus explicite, tout polynôme a coefficients dans R a toutes ses racines dans C. (théorême de D'Alembert)

Donc toute matrice réelle NxN a N valeurs propres complexes (certaines peuvent etre égales).
Le déterminant est le produit de ces valeurs propres, et est toujours défini.

Attention : l'existence de valeurs propres n'est pas suffisant pour être un critère de "diagonalisabilité" de la matrice

EDIT :
En fait, pour bien répondre à la question : "toute matrice a des valeurs propres, même si elles n'appartiennent pas forcément au corps des coefficients de la matrice"

christophe_de_Berlin · 23/05/2007, 15h12

Citation:

Posté par willamette

Salut,
Pour faire plus explicite, tout polynôme a coefficients dans R a toutes ses racines dans C. (théorême de D'Alembert)

Donc toute matrice réelle NxN a N valeurs propres complexes (certaines peuvent etre égales).
Le déterminant est le produit de ces valeurs propres, et est toujours défini.

EDIT :
En fait, pour bien répondre à la question : "toute matrice a des valeurs propres, même si elles n'appartiennent pas forcément au corps des coefficients de la matrice"

Merci de vos réponses, pour être franc, y quelques réponses qui de sont pas encore de mon niveau, car je suis en seconde année de maths et les corps algébriquement clos, je sais pas encore ce que c´est.

Mais dans ta réponse il y a quelquechose qui m´intrigue. Est-ce a dire qu´une matrice réelle, qui, comme tu le dis a N valeurs propres complexes, peut avoir un déterminant complexe?

D´autre part, pour être concret, il s´agit pour moi d´un exo, où on me demande d´exprimer det en fonction des valeurs propres. Le corps est C, les autres étudiants ne se cassent pas la tête, ils écrivent que det est le produit de toutes les valeurs propres. Je ne connais pas l´endomorphisme spécifiquement, on sait seulement que la norme de u(x) <= la norme de x et que le determinant est 1. Dans une question précédente, on a prouvé qu´alors toutes les valeurs propres sont de module 1.

Ce que tu as écrit sur les valeurs propres dans R, peut on le dire aussi dans C?

Merci d´avance

christophe_de_Berlin · 23/05/2007, 18h02

Citation:

Posté par christophe_de_Berlin

Mais dans ta réponse il y a quelquechose qui m´intrigue. Est-ce a dire qu´une matrice réelle, qui, comme tu le dis a N valeurs propres complexes, peut avoir un déterminant complexe?

Euh... Je crois pouvoir répondre à ma propre question: si un complexe z est valeur propre d´une matrice réelle, alors son conjugué est aussi valeur propre, donc leur produit est réel. C´est ça?

**homotopie** · 23/05/2007, 20h02

Citation:

Posté par christophe_de_Berlin

Euh... Je crois pouvoir répondre à ma propre question: si un complexe z est valeur propre d´une matrice réelle, alors son conjugué est aussi valeur propre, donc leur produit est réel. C´est ça?

C'est une façon de voir, oui. Sinon comme le déterminant peut toujours se calculer directement avec les coefficients de la matrice, celui-ci est réel si ces derniers sont réels.

kron · 23/05/2007, 21h06

Question subsidiaire en lisant certains posts :
qu'arrive t-il quand le déterminant n'est pas élément du corps de base de l'ev ?

**homotopie** · 23/05/2007, 22h54

Citation:

Posté par kron

Question subsidiaire en lisant certains posts :
qu'arrive t-il quand le déterminant n'est pas élément du corps de base de l'ev ?

cf mon post précédent, la valeur du déterminant est toujours dans le corps de base de l'ev.

kron · 24/05/2007, 13h23

Citation:

Posté par homotopie

cf mon post précédent, la valeur du déterminant est toujours dans le corps de base de l'ev.

Erf, mea culpa
J'avais pas pris assez de temps pour réfléchir.
Merci bien !