question difficile

humanino · 09/09/2004, 03h33

J'ai recherché de l'aide sur cette question sur plusieurs forums, et je n'ai toujours pas reçu de réponse. Non pas que je n'ai pas reçu de réponse satisfaisante, je n'ai pas reçu de réponse du tout. Alors, probablement le probleme est mal connu. De plus le sujet est quelque peu technique (les scientifiques ont l'art de litote). Il s'agit d'instantons, pour ceux qui aurait suivi une histoire qui s'est déroulée dans un autre forum...

Certain d'entre-vous ont sans aucun doute déjà entendu parler du fameux "mass-gap" en théorie de Yang-Mills. Ce probleme fondamental est primé par le "Clay Mathematical Institute", parmi d'autres énigmes de la plus haute importance telles la conjecture de Poincaré ou l'hypothèse de Riemann (à propos d'art de litote, vous-souvient-il de la formulation de cette hypothèse par le grand Bernhard). Lien vers description en anglais du "mass-gap" avec un autre lien vers le papier officiel de Jaffe et Witten définissant précisement le problème (non pas qu'on ne soit pas d'accord sur la formulation, il s'agit tout de même d'un prix a un million de dollards

) Je ne décris que brièvement le problème : il s'agit de montrer que les hadrons ont une masse minimale. En particulier, les pions qui sont les bosons de Goldstone de la brisure de symétrie chirale ont une masse certe faible, mais non nulle. Cet aspect spécifique est connu depuis des décénnies.

Bon on a toujours pas vu les instantons me direz-vous. J'y viens soyez patient c'est vrai que le problème est passionant vous repondrai-je. Les instantons brisent naturellement la symétrie chirale, car il sont capable de fournir une valeur non nulle pour le condensat de quarks. Je voudrais savoir pourquoi l'approche du probleme "mass-gap" à l'aide des instantons a échouée. Vous pouvez facilement trouver une introduction à cette approche en recherchant les papiers de Diakonov sur arXiv par exemple. Si vous disposez également du "Gauge Fields and Strings" de Polyakov, soit vous l'avez lu et vous savez que Polyakov (comme Diakonov) est pour le moins évasif sur cet échec, soit vous n'avez pas encore lu ce chef-d'oeuvre mais c'est peu vraisemblable. Si c'est le cas, précipitez-vous sur cette lecture, ce livre est un ouvrage majeur.

Au niveau technique, on peut montrer que le spectre de l'opérateur de Dirac en zéro est lié à la valeur condensat de quarks : c'est la relation de Banks-Casher. Voyons cela. Ca a l'air difficile pour le non-physicien, mais tout ce qui suit est en fait très élémentaire. Je ne fais que reprendre le raisonnement de Diakonov. Le spectre de Dirac $\nu(\lambda)$ est calculé en séparant dans la fonction de partition les termes fermioniques (quarks) des temes bosoniques (gluons), puis en interpretant la partie fermionique comme un déterminant, et en moyennant sur le gaz d'instantons dans la partie bosonique :
${\cal Z} = \int DA_{\mu} D\Psi D\Psi^{*}\exp[-\frac{1}{4g^2}\int F^2 + \sum_f\int \Psi_f^{*}(\imath \gamma_\mu \nabla^\mu+\imath m_f) \Psi_f]$
$=\int DA_{\mu} \exp[-\frac{1}{4g^2}\int F^2] \prod_f \det(\imath \gamma_\mu \nabla^\mu+\imath m_f) = \overline{det(\imath \gamma_\mu \nabla^\mu+\imath m_f) }$
Le moyennage sur le gaz d'instantons, c'est la barre au-dessus qui à l'air anodine. Habituellement on désespere à ce point parce que le déterminant n'a pas l'air hermitien à cause du $\imath m_f$ . Mais en agissant sur une solution avec $\gamma_5$ , on obtient une autre solution conjuguée (truc classique en théorie chirale) et donc l'hemiticité est sauve :
$det(\imath \gamma_\mu \nabla^\mu+\imath m_f) = \sqrt{ \prod_n (\lambda_n^2 + m^2)} =\exp[\frac{1}{2}\sum_n (\lambda_n^2 + m^2)]=\exp[\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} d\lambda \overline{\nu(\lambda)} \ln(\lambda^2 + m^2)]$
Encore quelque manipulations mènent à la relation recherchée :
$\langle \bar{q}_i q_i\rangle = -\frac{1}{V}\frac{\partial}{\pa m}\left[ \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} d\lambda \overline{\nu(\lambda)} \ln(\lambda^2 + m^2) \right] _{m \rightarrow 0}= -\frac{1}{V}\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} d\lambda \overline{\nu(\lambda)} \frac{m}{\lambda^2 + m^2}\right] _{m \rightarrow 0}$
Et voilà le miracle accompli:
$\langle \bar{q}_i q_i\rangle = -\frac{1}{V} sign(m)\pi \overline{\nu(0)}$

Voilà la question lancée. Je tiens à préciser qu'il est peu vraisemblable que quelqu'un puisse savoir ce qu'il en est, ou alors chapeau

parce que des forums de qualité j'en connais, mais pas un seul n'a pu fournir la réponse. Je connais aussi quelques théoriciens, et aucun n'a su non plus. Si donc la réponse ne venait pas, je vous en prie ne remettez pas en cause les compétences des gens sur ce forum.

Merci d'avance.

dupo · 09/09/2004, 20h27

tu veux la réponse à 1 million de dollar ?
hmmm, bof, je vais la garder encore au frais quelques années

humanino · 09/09/2004, 20h56

Je m'attendais pas a ca. Tu m'as fait bien rire

Previens-moi quand tu publies, pour qu'on

non, je te crois pas

Je veux savoir pourquoi les instantons ont echoue
Pourquoi n'est-il pas possible de calculer le spectre de l'operateur de Dirac en faisant une moyenne sur le gaz d'instantons ?

C'est pour mettre en intro a mon article ou je donne la solution (^_^)

aussi... On se retrouve dehors...

spi100 · 10/09/2004, 10h26

Citation:

Posté par humanino

Le moyennage sur le gaz d'instantons, c'est la barre au-dessus qui à l'air anodine. ...

Ben désolé pour la réponse, je suis encore loin d'en être là.

Je suis en train d'étudier les notions de jauges non-abéliennes et d'instantons. Tu expliques que l'on peut faire le cacul du spectre à la manière de la phy stat sur un gaz d'instantons. Est - ce que tu peux me montrer un cas simple (genre cas d'école) ou m'envoyer faire une ref pédagogique qui montre ce type de calcul ?

humanino · 10/09/2004, 21h10

D'abord bien entendu :

Citation:

Posté par humanino

Vous pouvez facilement trouver une introduction à cette approche en recherchant les papiers de Diakonov (...) "Gauge Fields and Strings" de Polyakov

Diakonov (dans les papiers redents, en particuliers de revu) est infiniment plus pedagogue que Polyakov (dont le bouquin commence a dater. Ce sont en fait des notes qu'il a pris au cours de sa carriere. Il n'hesite pas a aller au-dela des choses etablies)

Tres pres de ces considerations :
hep-lat/9402006 Spectrum of the Dirac operator in a QCD instanton liquid: two versus three colors (si tu n'en lis qu'en seul, lis celui-la !)
hep-lat/0201008 Local Chirality of Low-Lying Dirac Eigenmodes and the Instanton Liquid Model

Ensuite je ne sais pas trop. Le sujet est assez avance, et il n'y a pas trop de recul en general. Je fais dans l'ordre de mes preferences. Selon ton courage, il y a :
hep-th/0108122 Instantons, the Information Metric, and the AdS/CFT Correspondence (que je suis loin de maitriser, mais qui est tres interessant.)
hep-th/9707096 Classical and Quantum Instantons in Yang-Mills Theory in the Background of de Sitter Spacetime (un petit peu moins difficile)

Moins difficile :
hep-th/9703205 Effective quark Lagrangian in the instanton-gas model

Voila, apres tout tu devrais surtout explorer selon tes gouts et tes aspirations je crois. Encore une fois, le Polyakov est un sommet de beaute et d'importance.

Floris · 10/09/2004, 22h27

Esque on peut considérer les instanton et espaceton comme des quantum de l'espace temps???

humanino · 10/09/2004, 23h19

Je ne sais pas ce qu'est un espaceton.

Un instanton est un soliton dans l'espace-temps euclidien. On interprete physiquement un instanton comme un effet tunnel entre deux etats du vide distincts.

spi100 · 11/09/2004, 00h04

Citation:

Posté par Floris

Esque on peut considérer les instanton et espaceton comme des quantum de l'espace temps???

Les espaceton, je ne pense pas que ça existe. Mais les instantons ne sont pas des quanta de temps. Ces exitations sont nommés ainsi car elles ont une durée très brève dans le temps.
Le pendant des instantons sont les solitons qui eux ont au contraire ont une durée de vie très longue dans le temps mais sont très groupés dans l'espace, ça pourrait être ce que tu nommes espaceton.

humanino · 11/09/2004, 02h32

Un soliton interpole aussi entre deux etats du vide distincts, mais dans l'espace euclidien (pas l'espace temps) (notre espace temps n'est pas euclidien : il est lorentzien).

Pour l'interpolation des solitons, pensez a une ecluse que l'on ouvrirait spontanement, et imaginez que le front se deplace sans s'elargir : vous avez un soliton : il y a deux etats distincts du vide a l'infini. Usuellement les solitons sont immobiles.

spi100 · 11/09/2004, 13h52

Citation:

Posté par humanino

Usuellement les solitons sont immobiles.

L'image que j'ai d'un soliton, c'est une vague qui se propage s'en s'étaler. Mais c'est vrai que tu peux tjs te placer dans le référentiel lié au solition et dans ce cas il est immobile sans s'étaler. C'est ca ?

**mtheory** · 11/09/2004, 14h50

Bonjour humanino.Je me lance bien que j'avoue ma quasi incompétence sur les problèmes actuels en QCD.
Le problème ne viendrait-il pas de ce que l'approximation diluée du gaz d'instantons n'est plus valable?
On aurait des instantons larges et fortement couplés entre eux,l'approximation WKB se planterait et on serait vraiment dans un régime hautement non perturbatif avec une constante de couplage vraiment large.
Ne parles t'on pas d'aileurs de liquides d'instantons?

isozv · 11/09/2004, 16h27

Salut humanino

Pour les questions d'un niveau comme celui-ci faut plutôt aller sur des forums américains où la masse de scientifiques est plus grande que les forums uniquement francophones (à l'échelle européenne je dis pas mais bon il y a toujours cette barrière des langues...)

Poses plutôt ta question ici (si ce n'est pas déjà fait):

http://www.physicsforums.com/

**mtheory** · 11/09/2004, 16h32

Citation:

Posté par isozv

Salut humanino

Pour les questions d'un niveau comme celui-ci faut plutôt aller sur des forums américains où la masse de scientifiques est plus grande que les forums uniquement francophones (à l'échelle européenne je dis pas mais bon il y a toujours cette barrière des langues...)

Poses plutôt ta question ici (si ce n'est pas déjà fait):

http://www.physicsforums.com/

Salut isozv.
Il l'a fait, j'ai trouvé un post de lui d'ou ses précautions lors de son premier post sur ce forum.
C'est aussi pourquoi j'ai de bonnes raisons de penser que ce que j'ai dit ne doit pas être bien malin.

dupo · 11/09/2004, 16h57

tiens, comme je suis ignorant et qu'il semble que le débat ne peut aller plus loin,
voilà, une question:

Citation:

On interprete physiquement un instanton comme un effet tunnel entre deux etats du vide distincts.

en fait, j'ai du mal à comprendre la phrase: "quelque chose" est un effet tunnel.
l'instanton, c'est une paquet d'onde fait de plusieurs états du vide ?

Citation:

Previens-moi quand tu publies, pour qu'on
non, je te crois pas

bon, bon, avec ce genre de question, je suis réèllement démasqué!

humanino · 11/09/2004, 20h35

Citation:

Posté par spi100

L'image que j'ai d'un soliton, c'est une vague qui se propage s'en s'étaler. Mais c'est vrai que tu peux tjs te placer dans le référentiel lié au solition et dans ce cas il est immobile sans s'étaler. C'est ca ?

tout a fait ca, il est plus facile de resoudre les equations dans ce referentiel. Ma remarque n'etait pas tres pertinente c'est vrai

spi100 · 11/09/2004, 20h39

Citation:

Posté par humanino

tout a fait ca, il est plus facile de resoudre les equations dans ce referentiel. Ma remarque n'etait pas tres pertinente c'est vrai

Non, elle est très pertinente, c'est juste que je n'avais jamais pensé à un soliton comme quelque chose d'immobile, mais effectivement il n'y pas de raison de l'imaginer forcemment en mouvement.

humanino · 11/09/2004, 20h40

Citation:

Posté par mtheory

Bonjour humanino.Je me lance bien que j'avoue ma quasi incompétence sur les problèmes actuels en QCD.
Le problème ne viendrait-il pas de ce que l'approximation diluée du gaz d'instantons n'est plus valable?
On aurait des instantons larges et fortement couplés entre eux,l'approximation WKB se planterait et on serait vraiment dans un régime hautement non perturbatif avec une constante de couplage vraiment large.
Ne parles t'on pas d'aileurs de liquides d'instantons?

Le liquide et le gaz, tout depend de l'approximation, le gaz est moins precis que le liquide (je n'en suis pas certain). La taille d'un instanton de glue, c'est 1/3 de Fermi, et leur separation c'est 1 Fermi (en moyenne), donc dans un espace a 4 dimensions, on s'attend a ce que l'approximation de gaz ne soit pas si mauvaise : il est improbable qu'un quark rencontre 2 instantons simultanement. De fait les calculs bases sur les intantons pour calculer le spectre des masses hadroniques est incroyablement puissant. Je l'ai deja dit ailleurs je crois, mais les parties du spectres mal modelisees sont typiquement deja connues pour etre "exceptionnelles", par exemple les gens des boules de glue essaient d'y trouver des candidats.

humanino · 11/09/2004, 20h46

Citation:

Posté par dupo

en fait, j'ai du mal à comprendre la phrase: "quelque chose" est un effet tunnel.
l'instanton, c'est une paquet d'onde fait de plusieurs états du vide ?

moi aussi j'ai un peu du mal a y croire. La realite physique d'un instanton est difficile a saisir je crois. Pour t'eclairer un peu : les differents etats du vide ont differentes proprietes topologiques ("winding number" ou nombre d'enroulement de facon generale, ici plus precisement index de Pontryagin qui peut prendre n'imorte quelle valeur entiere positive ou negative). Un instanton fait spontanement passe d'un index a un autre. Il y a une barriere d'energie entre ces etats (en fait l'energie est periodique en fonction de cet index, et les instantons correspondent a un changement d'une unite +, et les anti-instantons une unite -)