identité trigonométrique

Makay · 08/06/2007, 15h10

Bonjour.
Est ce que quelqu'un sait comment prouver cette formule?
$cos(t)^{2n} = 1/\pi \int_{0}^{\pi}cos(u)^{2n}du + \sum_{k=1}^{n}C(k,n) cos(2kt)$
(avec t réel et n entier naturel)

Kacsou · 08/06/2007, 15h42

Euh... Ta formule me semble fausse.
En effet, pour $t=0$ et $n=1$ , on a :
$\cos(0)^2=1$ et
$\frac{\int_0^\pi \cos(u)^{2} du}{\pi}+\sum_{k=1}^1 C(k, 1) \cos(0) = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$
Donc, les deux membres de l'égalité sont différents.

Makay · 08/06/2007, 16h07

Visiblement il manque quelque chose ............ mais quoi ?

Makay · 09/06/2007, 00h17

En fait j'ai trouvé cette formule dans le livre d'exercices d'oraux des ENS et de polytechnique d'eric leichtnam à la page 24 (tome ANALYSE) . Si quelqu'un a ce livre et a compris la formule j'aimerai bien qu'il me l'explique .
Merci d'avance .

Taar · 09/06/2007, 12h11

Salut !

En fait, je crois que C(k,n) désigne "un coefficient" (qui dépend de k et de n) et non pas "le coefficient binomial".

Si j'ai raison, il s'agit juste de décomposer cos(t)²ⁿ sous la forme

$\sum_{k=0}^n \; a_{k,n} \; cos(2kt)$

ce qui n'est pas très dur si on commence par le cas n=1, puis de montrer que le coefficient constant a la forme intégrale désirée, ce qui n'est pas très dur non plus.

Taar.

Makay · 09/06/2007, 22h14

Tu as tout à fait raison Taar! merci !!!!!!!

Du coup la vraie formule est:
$cos(t)^{2n}=1/\pi\int_{0}^{\pi}cos(u)^{2n}du + \sum_{k=1}^{n}C(k,n)cos(2kt)$ avec $C(k,n)=1/2^{2n-1}binomial(2n,n-k)$ et l'intégrale(multipliée par 1/pi) vaut bien sûr ${2^{-2n}}.binomial(2n,n)$