Bonjour,
Lors de mes lectures, j’ai relevé quelques « différentes approches » (j’écris simplement différentes approches car je ne sais pas trop comment poser mon problème) propos de la divisibilité de 0 et de l’intégrité d’un anneau. Je vais vous citer cinq ouvrages et mes remarques et questions viendront juste après…
Cours d’Algèbre (Renée Elrik, collection mathématiques second cycle, Ellipses), page2 :
Soit A un anneau.
2) Soient a et b deux éléments de A ; on dit que a divise b et on écrit alors a|b, s’il existe c appartenant à A-{0} tel que ac=b (la condition c<>0 n’a bien sûr de raison d’être que si b=0).
3) On dit que A est intègre si A est différent de {0} et si le seul diviseur de 0 est 0, c’est-à-dire, si le produit de deux éléments non nuls de A est non nul.
Les-mathematiques.net (http://www.les-mathematiques.net/b/c/b/node2.php3:
Définition [Diviseurs de 0, anneaux intègres, éléments nilpotents]
1. Un élément est dit diviseur à gauche de 0 s'il existe b<>0 tel que .
Un élément est dit diviseur à droite de 0 s'il existe b<>0 tel que .
Un élément est dit diviseur de 0 s'il est à la fois diviseur à gauche de 0 et diviseur à droite de 0.
Un anneau est dit sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 ou de diviseur à droite de 0 autre que 0 lui-même.
2. Un anneau est dit intègre si:
il est de cardinal >1
il est commutatif
il est sans diviseur de 0
Remarques :
Tout anneau comporte un diviseur de 0 à gauche, un diviseur de 0 à droite, et un diviseur de 0 tout court; il s'agit de 0 lui-même. Un anneau sans diviseur de 0 ne signifie donc pas que l'anneau ne comporte pas de diviseur de 0.
Un anneau est sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 autre que 0. En effet, si n'admettant pas de diviseur à gauche de 0 admet un diviseur à droite de 0 autre que 0, alors pour et non nul, ce qui contredit le fait que 0 n'ait pas de diviseur à gauche.
De même, un anneau est sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à droite de 0 autre que 0.
Un anneau est sans diviseur de 0 si ou .
Exercices d’Algèbre (Aviva Szpirglas, collection enseignement des mathématiques, Cassini), page199:
Un diviseur de zéro à droite (resp. à gauche) de l’anneau A est un élément a de A, non nul, tel qu’il existe un élément b de B non nul vérifiant ba=0 (resp. ab=0). Un anneau est intègre s’il ne contient aucun diviseur de zéro.
Algèbre pour l’agrégation interne (Patrice Tauvel, Mason), page58 :
Soit A un anneau et a un élément de A.
ii) On dit que a est un diviseur de 0 à gauche (resp. à droite) s’il est non nul, et s’il existe b de A* tel que ab=0 (resp. ba=0). Un diviseur de zéro est un diviseur de zéro à gauche ou à droite.
iii) L’anneau A est dit intègre s’il est non nul et sans diviseur de zéro.
Dans de multiple ouvrage, par exemple Algèbre Groupes et Anneaux tome1 (D.Guin, collection mathémathiques de la licence à l’agrégation), page 136 :
Soient A un anneau commutatif, a et b deux éléments de A. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, et on écrit a|b, s’il existe un élément c de A tel que b=ac.
Un anneau A non nul est intègre si :
Pour tout a et tout b de A, ab=0 => (a=0 ou b=0).
Si l’anneau A n’est pas intègre, des éléments non nuls a et b tel que ab=0 sont appelés des diviseurs de zéro.
Voilà ma question. Dans mes 5 citations nous avons :
dans la première : 0 est considéré comme diviseur de zéro, et l’intégrité de l’anneau joue sur le fait que le seul diviseur de zéro est 0 lui-même ;
dans la seconde : un anneau est dit sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 ou de diviseur à droite de 0 autre que 0 lui-même. Un anneau est dit intègre si il est de cardinal >1, il est commutatif et il est sans diviseur de 0
Ainsi, 0 est un diviseur de 0, mais lorsque l’on parle de l’intégrité de l’anneau, on ne doit pas le considérer comme diviseur de 0 ;
dans la troisième : 0 n’est pas un diviseur de zéro ;
dans la quatrième :0 n’est pas un diviseur de 0 ;
dans la cinquième : 0 peut être un diviseur de 0, mais pas lorsque l’on parle de la non intégrité d’un anneau.
Alors voilà, apparemment, on considère 0 comme diviseur de 0 suivant le contexte et l’auteur, non ?
Cordialement,
Denebe.
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