Relation rang et det d'une matrice

[Besta]

Bonjours,

Est-ce qu'on peut dire qu'une matrice nxn dont le det est differrent 0 a un rang de n ?

Merci

[Ksilver]

Salut !

oui, une matrice inversible est de rang n.

[Ledescat]

Citation:

Posté par Besta

Bonjours,

Est-ce qu'on peut dire qu'une matrice nxn dont le det est differrent 0 a un rang de n ?

Merci

Oui car l'image d'une base est une base.

[GuYem]

Allez, on chipote, au lieu de "determinant différent de 0", il faut lire "determinant inversible".

[Ksilver]

Citation:

Posté par GuYem

Allez, on chipote, au lieu de "determinant différent de 0", il faut lire "determinant inversible".

j'ai rien contre, mais on ne m'a jammais définit le rang d'une matrice à coeficient dans un anneau moi ... parceque si ca n'existe pas cette distinction n'as pas lieu d'etre ^^

parceque vu que si on veux conserver le fait que le rang d'une matrice ce conserve quand on prend cmme corps de base un sur corps, et bien le rang d'une matrice a coeficient dans un anneau est le rang de cette matrice dans le corps des fractions de cette anneau... et elle est donc de rang si et seulement si le déterminant et non nul, et non pas inversible...

enfin apres, on définit peut-etre autrement le rang d'une matrice a coeficient dans un anneau...

[martini_bird]

Salut,

Citation:

enfin apres, on définit peut-etre autrement le rang d'une matrice a coeficient dans un anneau...

Je ne sais pas si la notion existe, mais le rang d'une application linéaire entre deux modules (c'est la notion d'ev sur un anneau) serait encore, selon moi, la dimension de l'image... pourvu qu'elle existe !

Cordialement.

[Ksilver]

ba la dimension d'un module je connais pas moi justement...

genre sur Z (un Z module) c'est quoi la dimension de 2Z ? de 4Z ? ^purtant 2Z et 4Z sont aussi des Z module...

[martini_bird]

Salut,

Citation:

ba la dimension d'un module je connais pas moi justement...

Moi non plus... Ce qui s'en approche le plus est la notion de rang : c'est le nombre de générateurs d'une base quand le module est libre.

Cordialement.

[Ledescat]

Ca n'a peut-être aucun rapport (et je m'en excuse dans ce cas là), mais j'ai vu qu'une matrice à coeff dans Z est inversible dans Z ssi (ou si ? ) son déterminant est 1 ou -1 (ça semble naturel).Donc c'est bien plus fort que déterminant non nul.

[Ksilver]

Salut Ledescate !


une matrice a coeficient dans un anneau est inversible si et seulement si son déterminant est inversible, et dans Z les élements inversible sont -1 et 1.


mais vu que la notion de rang n'est définit que sur des corps, ceci n'a effectivement aucun rapport avec la question initiale.

[jobherzt]

la notion de dimension a un sens pour ce qu'on appelle les Z-modules libres. (enfin on parle plutot de rang... mais ca revient au meme)

Donc Z, 2Z, 4Z sont de dimension 1, Zx3Z est de dimension 2, mais par exemple la notion de dimension ne s'applique pas a Z/2Z.

et donc oui, on peut tout a fait definir une matrice a coefficients dans un anneau, on a de la meme maniere que pour un corps les groupes SLn(Z), GLn(Z) et autres...

et de la meme maniere que pour les ev (enfin avec qq conditions quand meme, genre A integre, ou principal, j'ai un trou..), tout A-module de dimension n est isomorphe a A^n

[GuYem]

Content d'avoir mis un peu de pagaille de modules avec mon chipotage !

[Ksilver]

Donc si j'ai bien compris la remarque de Guyem n'etait pas inutile, mais fausse. puisque des que le déterminant est différent de 0 la matrice est inversible dans le corps des fractions donc de rang n ^^.


en revanche je ne saisit pas pourquoi "mais par exemple la notion de dimension ne s'applique pas a Z/2Z" :
Z/2Z est un corps, donc il n'y a aucun probleme, la notion de dimension est parfaitement définit si ?

[jobherzt]

oui, mais attention, c'est un corps, donc en particulier c'est un espace vectoriel sur lui meme. moi je parlais de sa structure de Z-module, ca n'est pas un Z module libre.

donc Z/2Z est un Z/2Z-espace vectoriel de dimension 1, et un Z-module non libre