Exercices de CG.

Antikhippe · 21/09/2004, 11h48

Bonjour,

Je voudrais déterminer, pour n entier positif, le signe de
$n^6 + 5n^5sin(n) + 1$ .

J'ai commencé par calculer la dérivée de cette expression et je trouve :
$6n^5 + 25n^4sin(n)+5n^5cos(n)$ .
Déjà, je ne sais pas si ma dérivée est bonne et je ne sais pas quoi faire après.

Merci de m'aider, Antikhippe.

ixi · 21/09/2004, 12h07

salut Antikhippe,

ta dérivée est bonne mais....

Tu peux déjà chercher quelques cas:
notons f(n)=n^6+5n^5sin(n)+1

f(n) est inferieur a: n^6+5n^5sin(n)=n^5(n+sin(n))
si n<-1, n+sin(n)<0 donc f(n)<0

ixi · 21/09/2004, 12h18

puis,

f(n)>n^6-5n^5+1=g(n)
g'(n)=6n^5-25n^4>0 si n>4
donc f est croissante a partir de n=5,

or f(5)=1.

d'ou f(n)>0 si n>4.

Il reste les cas -1,0,1,2,3,4 que tu peux faire a la main...

Antikhippe · 21/09/2004, 13h43

Merci beaucoup, ixi ! Je vais finir les calculs tout seul...

Antikhippe · 04/12/2004, 11h58

Salut,

A la question 2 de l'exercice I du CG de 1983 du lien ci-dessous, je n'arrive pas à prouver l'existence et l'unicité de a. Pourriez-vous me donner une piste, s'il-vous-plaît, parce que je ne sais pas du tout comment partir.

http://www.ifrance.com/maths-express...N-CN-OLYMP.htm

justine&coria · 04/12/2004, 12h52

Citation:

Posté par Antikhippe

Salut,

A la question 2 de l'exercice I du CG de 1983 du lien ci-dessous, je n'arrive pas à prouver l'existence et l'unicité de a. Pourriez-vous me donner une piste, s'il-vous-plaît, parce que je ne sais pas du tout comment partir.

http://www.ifrance.com/maths-express...N-CN-OLYMP.htm

t'as dû mal recopier l'adresse, j'arrive pas à afficher la page.

Antikhippe · 04/12/2004, 13h29

Citation:

Posté par justine&coria

t'as dû mal recopier l'adresse, j'arrive pas à afficher la page.

Non, c'est la bonne adresse, mais dans la partie gauche de la page, il te faut cliquer sur 1983.

justine&coria · 04/12/2004, 15h58

J'ai vraiment pas le temps en ce moment (pour cause d'examens lundi).
Par contre, je te conseillerais de montrer que la fonction g donnée par :
g(x) = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) + ... + f₉₇(x) est une fonction strictement décroissante de -oo jusqu'à 0.
Il existe donc un unique réel x = a tel que g(a) = 1 (je te laisse comprendre pourquoi)!

Mais bon, même si mon raisonnement est correct, il sera peut-être difficile à l'appliquer (en particulier montrer que la fonction g décroît).
N'oublie pas de me dire si ça marche ou pas !

Antikhippe · 05/12/2004, 16h29

Merci beaucoup pour ton aide.

Je vais essayer de prouver la décroissance de g mais là, je n'ai pas trop le temps.

Bonne chance pour tes exams !!!

Antikhippe · 30/12/2004, 20h34

Bonjour !

Je dois déterminer le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou égal au nombre suivant : 10¹⁹⁹²/(10⁸³+7)
Je pense utiliser ln ou log... mais je ne vois pas du tout comment.

Merci pour ceux qui pourront me donner une piste

.

µµtt · 30/12/2004, 20h49

Salut,

Remarque que 1992 = 83*24 et que 1/(1+x) = 1 - x + .....

g_h · 30/12/2004, 20h50

Tiens, c'est exactement un des exos qui est dans mon bouquin de spé !

Commence par poser A = 10^83
Sachant que 1992 = 83*24

Après il faut développer tout ça...

Antikhippe · 30/12/2004, 23h56

Merci à tous les deux pour vos réponses, mais je n'y arrive toujours pas...

Citation:

Posté par µµtt

1/(1+x) = 1 - x + .....

1/(1+x) = (1 - x)/(1-x²), mais ça mène à quoi ???

C'est dans quel chapitre, g_h ?

Antikhippe · 01/01/2005, 11h57

Citation:

Posté par g_h

Tiens, c'est exactement un des exos qui est dans mon bouquin de spé !

Ca se fait avec les congruences ??? Si oui, je ne vois pas comment...

Antikhippe · 25/02/2005, 18h49

Autre exercice : Quelle est l'aire maximale d'un triangle dont les sommets sont dans un carré de côté a ?

Soit ABCD, le carré de côté a. J'ai envie de répondre que le triangle dont l'aire est maximale est le triangle DCM où M $\in$ [AB]. L'aire vaut dans ce cas : a*a/2 = a²/2.

Je suis certain qu'il s'agit du triangle d'aire maximale quand un côté du triangle est confondu avec un côté du carré, mais je me demande s'il n'y a pas un autre triangle (avec aucun côté confondu avec un côté du carré) dont l'aire serait plus grande...

**matthias** · 25/02/2005, 19h08

Sans faire de calcul, tu vois qu'en bougeant un sommet parallèlement au côté opposé, tu ne changes pas l'aire du triangle.
Et à partir d'un triangle quelconque correspondant à ton énoncé, tu peux donc toujours trouver un triangle dont un côté est inclus dans un des côtés du carré et qui garde la même aire.
Euh, je sais pas si c'est très clair ...

Antikhippe · 25/02/2005, 19h19

Il garde la même aire et c'est pour ça que j'ai dit que l'aire valait toujours a²/2 quel que soit le troisième point M se balladant sur le côté opposé du carré. Mais cette aire est-elle maximale ?

Dans le cas où le triangle n'a pas de côté en commun avec le carré, ça donne quoi ?

**matthias** · 25/02/2005, 19h22

Tu n'as pas compris entièrement.
Si un triangle n'ayant aucun côté inclus dans un côté du carré était d'aire maximale, alors il en existerait un autre d'aire maximale avec un côté inclus dans un côté du carré. Donc pas la peine de chercher de ce côté