Calcul du champ électrique d'un dipôle électrique

Phys2 · 17/07/2007, 18h16

Bonjour à tous,

Dans un document d'électromagnétisme, je n'arrive pas à suivre les calculs que fait l'auteur pour déterminer l'expression du champ électrique d'un dipôle électrique :

J'arrive jusqu'à : $E= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 (z-\frac{1}{2}d)^2}- \frac{q}{4\pi \epsilon_0 (z+\frac{1}{2}d)^2}$

Et ensuite je dois trouver : $E= \frac{q}{4\pi \epsilon_0z^2} \[ (1-\frac{d}{2z})^{-2}-(1+\frac{d}{2z})^{-2} \]$

Avec q la charge du dipôle, $\epsilon_0$ la permittivité du vide, d la distance séparant les deux charges constituants le dipôle, et z la distance par rapport au dipôle (c'est également la variable).

Mais je n'arrive pas à faire le lien entre ces deux expressions...

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance
Phys2

mamono666 · 17/07/2007, 18h23

Salut,

$\frac{1}{(z-\frac{d}{2})^2}-\frac{1}{(z+\frac{d}{2})^2}$
donc $\frac{1}{(z(1-\frac{d}{2z}))^2}-\frac{1}{(z(1+\frac{d}{2Z}))^2 }$

donc $\frac{1}{z^2} \cdot (\frac{1}{(1-\frac{d}{2z})^2}-\frac{1}{(1+\frac{d}{2Z})^2})$

Phys2 · 17/07/2007, 18h35

Merci Mamono666

Pour rattrapper la question stupide précédente (

), j'ai un dernier point qui fait obstacle :

Par le biais d'un développement limité, je dois avoir $(1-\frac{d}{2z})^{-2}-(1+ \frac{d}{2z})^{-2} \] \rightarrow \[ (1+\frac{d}{z}) - (1-\frac{d}{z})$ , en sachant que l'on considère que $(\frac{d}{z})^n=0$ pour $n \in \mathbb{N}-\{1\}$ .

J'ai essayé d'utiliser la formule $f(x)= (\sum\limits^n_{i=1} \frac{x^n}{n!} f^n(0)) + \epsilon (x)$ , mais on se retrouve avec des quotients sur zéro, ce qui est plutôt problématique...

Karibou Blanc · 17/07/2007, 18h42

tu dois utiliser un développement limité au premier ordre qui est justifié si on considère d/z <<1.

mamono666 · 17/07/2007, 18h50

tu développes d'abord le dénominateur grace à $(1+x)^\alpha = 1+ \alpha x + \alpha \cdot (\alpha - 1) \frac{x^2}{2}$ . Va jusqu'a l'ordre deux quand meme pour etre sur.

puis tu developpes le tout grace à ca: $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3$ ...etc

PS: ca reviens effectivement à utiliser la formule de Taylor-Young, mais il faut aller à un ordre assez haut pour que cela ne s'annule pas.

Magnétar · 17/07/2007, 23h52

Citation:

Posté par mamono666

tu développes d'abord le dénominateur grace à $(1+x)^\alpha = 1+ \alpha x + \alpha \cdot (\alpha - 1) \frac{x^2}{2}$ . Va jusqu'a l'ordre deux quand meme pour etre sur.

puis tu developpes le tout grace à ca: $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3$ ...etc

PS: ca reviens effectivement à utiliser la formule de Taylor-Young, mais il faut aller à un ordre assez haut pour que cela ne s'annule pas.

Pour simplifier je proposerai de supprimer une étape tu te sers seulement de
$(1+x)^\alpha = 1+ \alpha x$ avec $\alpha = -2$ ça évite de redévelopper $\frac{1}{1-2x}$ .

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor voilà quelques développements particuliers qu'il est bon de connaître en physique on s'en sert souvent.

Phys2 · 18/07/2007, 08h42

Citation:

Posté par Magnétar

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor voilà quelques développements particuliers qu'il est bon de connaître en physique on s'en sert souvent.

Merci pour le lien, je sens que ça beaucoup me servir

Merci à tous