Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme - Forum Mathématiques du collège et du lycée

cypher_2 · 05/08/2007, 12h24

Bonjour, hier soir je me suis lancé dans un exercice dont l'ennoncé est :

Soit $f \ polynome \ definit \ par \ f(x)=3x^4-7x^3-13x^2+23x-6 $
1) Vérifier que $1$ et $3$ sont deux racines et factoriser $f(x)$ par $(x-1)(x-3)$

Arrivé là je me dis que pour factoriser un polynome en connaissant une racine de ce dernier on peut appliquer la méthode de Horner, mais le problème c'est que ce dernier ne fonctionne qu'avec une racine à la fois. Donc j'étais bloqué. J'ai décidé de factoriser le polynome initial par la méthode d'Horner avec 3 et avec 1 et voir les résultats.

Donc je trouve ( en passant les détails de calcul )
Pour racine = 1 :

$f(x) = (x-1)(3x^3-4x^2-17x-6)$

Pour racine = 3 :

$f(x) = (x-3)(3x^3+2x^2-7x+2)$

Et on remarque que pour les deux cas, le deuxième facteur obtenu a pour racine évidente soit 1 soit 3, donc il suffit de refactoriser par la méthode de Horner pour trouver

$f(x) = (x-3)(x-1)(3x^2+5x-2)$

Donc ma question est de savoir, si c'est un coup de chance de tomber, après factorisation avec une des racine du polynome initial, sur un facteur dont la racine est la deuxième racine du polynome initial ? Est-ce une règle générale ?

Sinon comment factoriser un polynome en connaissant ces deux racines ?

Merci.

dimacom · 05/08/2007, 12h30

bonjour,
pourquoi n'utilises-tu pas la division euclidienne?

Ledescat · 05/08/2007, 12h34

Bonjour.

Citation:

Posté par cypher_2

Donc ma question est de savoir, si c'est un coup de chance de tomber, après factorisation avec une des racine du polynome initial, sur un facteur dont la racine est la deuxième racine du polynome initial ? Est-ce une règle générale ?

Et non, ça n'est pas un coup de chance ! Heureusement que l'on tombe sur les mêmes racines évidentes !
Dans tous les cas, ton polynôme initial s'annule en 1 et 3.
Donc tu es sûr et certain qu'il peut s'écrire: f(x)=(x-1)(x-3)(ax²+bx+c)

Dans ton premier cas, le polynôme restant est mon (x-3)(ax²+bx+c)
Dans ton second cas, le polynôme restant est mon (x-1)(ax²+bx+c)

Citation:

Sinon comment factoriser un polynome en connaissant ces deux racines ?

Tu cherches a,b,c tels que:

$(x-1)(x-3)(ax^2+bx+c)=f(x)$

Tu prends ton courage à 2 mains tu développes tout, puis tu identifies les coefficients des termes de même degré.

François

EDIT:

Citation:

pourquoi n'utilises-tu pas la division euclidienne?

Parceque c'est pas vraiment au programme de lycée...

GalaxieA440 · 05/08/2007, 12h47

nous on a vu rapidement la méthode de la div euclidienne, c'est vrai que c'est dommage que ce ne soit pas au programme de lycée, parceque vraiment sur certains polynôme ça te change la vie....

dimacom · 05/08/2007, 12h52

peut être ce site peut te servir
http://membres.lycos.fr/emauvais/idm/EquMetHor.htm
et bonne chance

cypher_2 · 05/08/2007, 13h05

Merci pour vos réponses,
au passage sur le site où j'ai appris la méthode de Horner, la méthode de la division euclidienne était aussi indiquée. Je l'ai donc apprise en même temps et c'est vrai qu'elle sert vraiment tout en restant je trouve très simple.

FonKy- · 05/08/2007, 16h21

vous rigolez la , vous pinailler sur la division euclidienne qui se voit en TS spé math alors que la méthode de horner on ne fait que l'énoncé dans le cours de sup et sans trop étudier comment on y parvient à mon souvenir, donc je considere que je l'ai jamais vu =)

FonKy-

cypher_2 · 05/08/2007, 16h28

Pourtant la méthode de Horner est mise dans le programme de 1ère sur le site où je l'ai apprise, au même titre que la division euclidienne d'ailleur ) et puis l'explication n'est vraiment pas compliquée à retenir et à comprendre.

Ledescat · 05/08/2007, 17h33

A mon avis ça 'est pas la méthode de Horner, ou juste une dérive simplifiée.
Je viens de regarder sur wiki, et Horner c'est pas joli joli

.

cypher_2 · 05/08/2007, 17h54

Bah je sais pas trop ce que c'est la méthode que j'ai apprise, mais elle s'ennonce un peu comme ça :

Si $f(x) = a_nx^n +...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$

Donc si ce polynome a pour racine $\alpha$ alors il peut être factorisé comme ceci $f(x) = (x-\alpha)(g(x))$ où $g(x) = b_{n-1}x^{n-1}+...+b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0$

L'explication de la méthode se fait comme cela : on développe $(x-\alpha)((g(x))$ puis on factorise pour trouver des égalités de coefficient entre $g(x) \ et f(x)$ qui sont : ( je passe le dévellopement / facto )

$a_n = b_{n-1}$

Puis une sorte de " schéma" se met en place pour tous les coefficients qui suivent et qui se résume par :

$b_k = a_{(k+1)} + b_{(k+1)}\alpha$

Et enfin pour $b_0$
on a :
$b_0 = \frac{-a_0}{\alpha}$

Voila j'espère que vous avez compris car j'ai essayé de faire de tête d'après mes souvenirs. La méthode préconise de faire avec un tableau mais avec ces égalités je trouve que le tableaux ne sert pas à grand chose.

Ledescat · 05/08/2007, 18h39

Ah oui donc Horner a juste voulu donner son nom à la méthode d'identification des coefficients , pas bien malin

.

FonKy- · 05/08/2007, 18h59

Pour moi horner c'était transformer un polynome en x(x(x(x(x ...

exemple: $2+x+2\,{x}^{2}+1/6\,{x}^{3}+3\,{x}^{4}+{\frac {3}{40}}\,{x}^{5}$

devient $2+ \left( 1+ \left( 2+ \left( 1/6+ \left( 3+{\frac {3}{40}}\,x \right) x \right) x \right) x \right) x $

FonKy-

nb: pour info ca sert a rendre plus performant le calcul informatique

Ledescat · 05/08/2007, 19h53

Citation:

Posté par FonKy-

Pour moi horner c'était transformer un polynome en x(x(x(x(x ...

exemple: $2+x+2\,{x}^{2}+1/6\,{x}^{3}+3\,{x}^{4}+{\frac {3}{40}}\,{x}^{5}$

devient $2+ \left( 1+ \left( 2+ \left( 1/6+ \left( 3+{\frac {3}{40}}\,x \right) x \right) x \right) x \right) x $

FonKy-

nb: pour info ca sert a rendre plus performant le calcul informatique

Oui c'est vrai ça me parle plus.

cypher_2 · 05/08/2007, 21h55

Voila le site en question : http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc1/polyalpha.php

Cliquez sur l'icone à gauche de " La méthode dite de Horner "
Comme il est dit sur ce site, la méthode de Horner revient à "automatiser" la méthode par identification des coefficients.

Enfin on va pas s'atarder la dessus

Merci pour votre aide.

EDIT: enfait il y a une erreur dans le lien, il faut d'abord se rendre dans le chapitre "Racines et factorisation"

macros · 07/08/2007, 20h00

bonjour,

j'ai essayé de factoriser ce polynome

f(x) = 3x^3-9x²-18x+24

en utilisant la division euclidienne et en prenant pr racine évidente x = -1
j'ai effectué la division euclidienne et j'arrive à

f(x) = (x+1)(3x²-12x-6)+30

seulement j'aimerai arriver à la forme factorisée ultime de ce polynome càd :

f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)

comment dois-je m'y prendre ?
merci

M.

cypher_2 · 07/08/2007, 20h15

Je peux t'expliquer mais avec la méthode de Horner

cypher_2 · 07/08/2007, 20h24

Bon enfait avec la division euclidienne :

Commences avec la racine évidente $-2$

Donc $f(x) = (x+2)(g(x))$

Tu divises donc $3x^3-9x^2-18x+24 \ par \ (x+2)$
Tu vas alors trouver au résultat $g(x) = 3x^2-15x+12$
Donc $f(x) = (x+2)(3x^2-15x+12)$

Maintenant il te suffit juste de remarquer quelle est la racine évidente de $3x^2-15x+12$ (c'est pas un coup de chance ^^) et tu refais la division euclidienne pour factoriser $3x^2-15x+12$ .

Voila.

macros · 07/08/2007, 20h29

Citation:

Posté par cypher_2

Commences avec la racine évidente $-2$

mais là c'est un coup de chance non ?
M.