Compact métrique infini dénombrable

[Michel (mmy)]

Bonjour,

Un espace métrisable compact est au plus de la puissance du continu.

Qu'y a-t-il comme exemple d'espace métrisable compact de cardinal aleph0? D'espace compact avec une métrique complète et de cardinal aleph0?

Cordialement,

[GuYem]

Salut,

Peur de dire quelques bétises mais bon, je me lance : pour un espace métrique compact en bijection avec N, pourquoi pas la suite des 1/n à laquelle on ajoute 0 ?

[Michel (mmy)]

Ca fait comme topologie tous les points isolés, sauf le 0, c'est ça?

Cdlt,

[GuYem]

Oui je pense.

Ensuite, en trouver un complet risque d'être plus couillu...

[Michel (mmy)]

Et connexe? (métrique, compact, connexe, et infini dénombrable, donc...)

Cdlt,

[Michel (mmy)]

Envoyé par GuYem

Ensuite, en trouver un complet risque d'être plus couillu...

Le cas que tu proposes n'est pas complet?

Si une une suite est telle que d(u_n, u_n+1) tend vers 0, comment peut-elle faire autrement que tendre vers 0 ou être constante à partir d'un certain rang?

Cdlt,

[Médiat]

Envoyé par mmy

Le cas que tu proposes n'est pas complet?

Si une une suite est telle que d(u_n, u_n+1) tend vers 0, comment peut-elle faire autrement que tendre vers 0 ou être constante à partir d'un certain rang?

Est-ce que ce que tu dis ne démontre pas que cet ensemble est complet justement ?

[GuYem]

Envoyé par mmy

Le cas que tu proposes n'est pas complet?

Si une une suite est telle que d(u_n, u_n+1) tend vers 0, comment peut-elle faire autrement que tendre vers 0 ou être constante à partir d'un certain rang?

Cdlt,

En effet, vu comme ça, il a l'air complet... Cela dit, ce ne serait pas un fermé dans un complet (R) ?

[Médiat]

La réponse de GuYem m'a fait comprendre le sens de ton "?", donc nous sommes d'accord, il paraît bien complet.

[Michel (mmy)]

Quid de ma question suivante, i.e., connexe? (métrique, compact, connexe, et infini dénombrable, donc...)?

(En gros, je cherche s'il y a des conditions topologiques simples qui "forcent" un espace topologique à avoir exactement la puissance du continu. Métrisable compact semble borner par dessus, si je comprend bien; je me demande alors s'il y a une condition simple de bornage par le bas. Ca fait partie d'une interrogation de ma part sur pourquoi R est-il invoqué si couramment en topologie; est-ce historique, parce que R précède la topologie, ou y-a-t-il des raisons de fond?

Ceci tout en remarquant que la condition "métrisable" fait entrer R par la porte du jardin... La borne supérieure est peut-être simplement due à ce que R est utilisé explicitement dans la notion de métrisable...)

Cordialement,

[Médiat]

Connexe par arc (et cardinal > 1) ?

[martini_bird]

Salut,

Envoyé par Médiat

Connexe par arc (et cardinal > 1) ?

Mais on a besoin de pour définir la connexité par arcs. Du coup, je me demande si cette réponse satisfera mmy.

Cordialement.

[Médiat]

Envoyé par martini_bird

Mais on a besoin de pour définir la connexité par arcs. Du coup, je me demande si cette réponse satisfera mmy.

Bonjour,
On a aussi besoin de pour définir les espaces métriques(), bien sur pas de la même façon, mais où se trouve la frontière ?

Je reconnais qu'utiliser la continuité pour trouver un espace avec la puissance du continu, ce n'est pas très élégant.

Cordialement

[martini_bird]

Envoyé par Médiat

On a aussi besoin de pour définir les espaces métriques(), bien sur pas de la même façon, mais où se trouve la frontière ?

Oui, c'est ce que disait mmy en parlant de la porte du jardin.

J'ai lancé un autre fil sur la question de la connexité : j'ai l'impression qu'à elle seule, elle exige des gros espaces (je veux dire non-dénombrables) si on veut une topologie avec assez d'ouverts.

Cordialement.

[Michel (mmy)]

Envoyé par martini_bird

Mais on a besoin de pour définir la connexité par arcs. Du coup, je me demande si cette réponse satisfera mmy.

Bien vu!

Je parlais de la connexité au sens le plus simple: structure topologique telle que l'espace n'est pas la réunion de deux ouverts disjoints non vides.

Cordialement,