équation fonctionnelle

chentouf · 13/08/2007, 03h53

Bonsoir :
Déterminer toutes les fonctions $\ f$ : $\ C \hspace{7cm} \longrightarrow \hspace{7cm} C$ telles que : $\ \forall x,y \in C$ : $\ f(a_{2}.x^{2}+a_{1}.x+a_{0}) = a_{2}.f(x)^{2}+a_{1}.f(x)+a_{0 }.f(1)$ .
Merci d'avance !!!

chentouf · 13/08/2007, 03h55

Pour $\ f = Id_{C}$ , l'égalité est verifiée !

martini_bird · 13/08/2007, 06h32

Salut,

c'est quoi C ? Et les $a_i$ sont fixés ou non ?

Cordialement.

chentouf · 13/08/2007, 08h09

Salut "Martini bird" :
$\ C$ est l'ensemble des nombres complexes.
les $\ a_{i}$ sont des scalaires fixés de $\ C$ .

CM63 · 13/08/2007, 09h29

Je suppose que c'est "quelque soit X" et non pas "quelque soit X,Y" ?

martini_bird · 13/08/2007, 09h31

Salut,

ok, merci.

Je n'ai pas trop d'idées pour le moment : en considérant les racines des polynômes $P=a_2X^2+a_1X+a_0$ et $P^*=a_2X^2+a_1X+a_0f(1)$ , on arrive à quelques relations, mais rien de très intéressant.

Cordialement.

chentouf · 13/08/2007, 10h45

Oui CM63 : $\ \forall x \in C$

chentouf · 13/08/2007, 15h54

exo vraiment dur !!

Ledescat · 13/08/2007, 16h49

S'il n'y avait pas le f(1) à la fin, on aurait pu peut-être trouver une généralisation des fonctions qui commutent avec les polynômes ( Pof=foP ), mais peut-être que ça s'en approche.

martini_bird · 13/08/2007, 17h00

Citation:

Posté par Ledescat

S'il n'y avait pas le f(1) à la fin, on aurait pu peut-être trouver une généralisation des fonctions qui commutent avec les polynômes ( Pof=foP ), mais peut-être que ça s'en approche.

Attention, les $a_i$ sont fixés si j'ai bien compris, de sorte que si f(1)=1, alors f commute avec un polynôme.

Cordialement.

Ledescat · 13/08/2007, 17h10

Citation:

Posté par martini_bird

Attention, les $a_i$ sont fixés si j'ai bien compris, de sorte que si f(1)=1, alors f commute avec un polynôme.

Cordialement.

Exact martini, je n'avais pas vu que les a_i étaient établis une fois pour toute.
Merci.

Cdlt.

chentouf · 13/08/2007, 17h14

Oui "martini bird", les $\ a_{i}$ sont fixés.
C'est vrai que si $\ f(1) = 1$ alors, n'importe quel fonction commute avec : $\ a_{2}.x^{2}+a_{1}.x+a_{0} ???$

chentouf · 13/08/2007, 17h34

Si on prend $\ f(x) = a.x$ : $\ f$ et $\ a_{2}.x^{2}+a_{1}.x+a_{0} \hspace{10cm}$ ne commutent pas !!

FonKy- · 13/08/2007, 17h46

Bonjour, en effet c'est pas evident ..
mais si on prend f(1)=1 on a la fonction identité non ?, qui ne peut que commuté ?
enfin je crois

edit: oui car a0, a1 et a2 quelconques

FonKy-

FonKy- · 13/08/2007, 17h57

en fait tout dépend de la siginication de fixe .. pour moi cela signifie ne dépend pas de x mais qui peut prendre toutes les valeurs possibles. ( je me suis fait comprendre ? )
Sinon question, que pourrait on en conclure si on avait foP = Pof ?

FonKy-

chentouf · 13/08/2007, 18h37

non, les $\ a_{i}$ sont fixés dès le debut ..
Par exemple :
$\ \forall x \in C$ : $\ f(x^{2}+x+1) = f(x)^{2} + f(x) + f(1)$

Ledescat · 13/08/2007, 18h47

Ouais bah je trouve rien de plus que :

$f(a(x-z_1)(x-z_2))=a(f(x)-z_1)(f(x)-z_2)+c(f(1)-1)$

Puisque P se scinde, mais à part trouver une relation entre f(z1),f(z2),z1 et z2 je ne vois rien.

chentouf · 13/08/2007, 23h01