Espace connexe dénombrable

martini_bird · 13/08/2007, 09h45

Salut,

suite au fil de mmy, je me suis demandé s'il était possible qu'un espace soit dénombrable et connexe. C'est clair si l'espace est un singleton ou encore s'il est muni de la topologie grossière.

Mais peut-on trouver d'autres exemples ? En particulier si l'on exige que les points soient fermés ?

Cordialement.

Michel (mmy) · 13/08/2007, 10h05

D'une certaine manière, topologie grossière et singleton c'est la même chose.

Je pense qu'il faut imposer la topologie d'être Kolmogorov, sinon la notion de cardinal ne veut pas dire grand chose. (Ou est-ce que ça a quelque chose à voir avec la condition que les points soient fermés?)

Cordialement,

Médiat · 13/08/2007, 10h53

Tentative sans garantie (j'ai la tête qui fume, mais je n'arrive ni à prouver que cet espace est connexe, ni à trouver à le couper en deux ouverts)...

Soit l'ensemble des rationnels appartenant à [0 ; 1[ (pour se simplifier la vie) dont le développement décimal propre (pour éviter d'écrire 0.2 = 0.19) est constant, à partir d'un certain rang, muni de la distance égal à la somme des valeurs absolues des différences des décimales de rang n divisée par n.

martini_bird · 13/08/2007, 11h24

Merci de te pencher sur le problème.

J'écris un rationnel $\alpha$ sous la forme $\alpha=\sum\alpha_k 10^{-k}$ avec $k\geq1$ , $0\leq\alpha_k\leq 9$ et $\alpha_k=\alpha_{k+1}\neq 9$ à partir d'un certain rang.

La distance serait donc la somme $d(\alpha, \beta)=\sum |\alpha_k-\beta_k|/k$ . Le hic, c'est que $d(0,222\ldots,\ 0,333\ldots)$ n'est pas définie (à moins que j'ai loupé quelque chose). Ne faudrait-il pas mieux remplacer $k$ par $k^2$ (ou $10^k$ ) ?

Citation:

Posté par Médiat

j'ai la tête qui fume

Cordialement.

martini_bird · 13/08/2007, 11h35

Citation:

Posté par mmy

Je pense qu'il faut imposer la topologie d'être Kolmogorov, sinon la notion de cardinal ne veut pas dire grand chose. (Ou est-ce que ça a quelque chose à voir avec la condition que les points soient fermés?)

Oui, l'hypothèse que les points soient fermés est un peu plus forte que de demander à l'espace d'être Kolmogorov, mais c'était en effet l'idée pour avoir autre chose que la topologie grossière.

Cordialement.

Médiat · 13/08/2007, 11h42

Citation:

Posté par martini_bird

Le hic, c'est que $d(0,222\ldots,\ 0,333\ldots)$ n'est pas définie (à moins que j'ai loupé quelque chose).

Of course ! En fait j'étais partie sur l'idée de suites à support fini et comme des ensembles de suites ne sont pas faciles à manipuler j'ai traduit maladroitement cela avec des décimales.

Malheureusement, même en améliorant les choses, développement binaire par exemple, cela ne marche pas, le réel défini par $\sum{2^{k^2}}$ doit couper cet ensemble en deux ouverts

Citation:

Posté par martini_bird

Ne faudrait-il pas mieux remplacer $k$ par $k^2$ (ou $10^k$ ) ?

Surtout pas l'idée est justement d'envoyer les réels pas dans l'ensemble très très loin.

Cordialement.

ambrosio · 13/08/2007, 13h38

Citation:

Posté par martini_bird

suite au fil de mmy, je me suis demandé s'il était possible qu'un espace soit dénombrable et connexe.

on peut prendre l'ensemble N et comme ouverts les complémentaires des parties finies de N (plus l'ensemble vide!). Je crois que c'est ce qu'on appelle le filtre de Cauchy. Deux ouverts non vides ont une intersection non vide et il n'existe donc pas de partition par des ouverts non vides. Mais ce n'est évidemment pas métrisable.

Médiat · 13/08/2007, 13h44

Citation:

Posté par ambrosio

on peut prendre l'ensemble N et comme ouverts les complémentaires des parties finies de N (plus l'ensemble vide!). Je crois que c'est ce qu'on appelle le filtre de Cauchy.

Filtre de Fréchet plutôt

ambrosio · 13/08/2007, 13h45

ou un chouïa plus simple: comme ouverts les sections finissantes de N. Mais bon, plus une topologie est petite, plus elle a de chances d'être connexe (moins on a de possibilités d'y trouver une partition ouverte).

ambrosio · 13/08/2007, 13h46

Citation:

Posté par Médiat

Filtre de Fréchet plutôt

ah oui c'est vrai, mais alors c'est quoi le filtre de Cauchy? vieux souvenirs...

Médiat · 13/08/2007, 13h53

Citation:

Posté par ambrosio

ah oui c'est vrai, mais alors c'est quoi le filtre de Cauchy? vieux souvenirs...

Regarde là : http://www.ulg.ac.be/sectmath/schmet...node30_tf.html

G13 · 13/08/2007, 20h31

Oui, il y a des espaces séparés dénombrables et connexes.
Mais, ils ne sont pas compacts.
(Si l'espace est compact, on peut prendre une fonction continue prenant plusieurs valeurs dont 0 et 1 mais pas toutes les valeurs entre 0 et 1( vu qu'il est denombrable) ,et donc séparer l'espace en deux ouverts.)
Il y a des exemples dans le Bourbaki je crois.
En voici, un que j'avais trouvé (je recopie le mail que j'avais envoyé à un prof de prépa qui m'avait dit que c'était correct).
Malheureusement ce n'est pas trés compréhensible...

Soit E0 l'ensemble des nombres reels entre 0 et 1
> inclus tels que leur développement en base 4 se
> termine par une suite infini de 0. exemple
> 0,32120...0.....
> On munit E0 de la topologie de [0,1]
> Soit la relation d'équivalence: a0,a1a2a3...ak (ak<>0)
> est en relation avec b0,b1b2...bk' (bk'<>0) ssi k=k'
> et pour tout i<k, bi et ai appartiennent a {0,3} ou
> bi et ai appartiennent à {1,2}.
> Soit E l'espace topologique quotient de E0 par la
> relation d'équivalence.
> E est connexe.
> Soit f une bijection de {(m,n) appartient à N^2 tel
> que m<>n} dans N etoile - {1} telle que pour tout m,n
> f(m,n)>m et f(m,n)>n.
> Soit a=3/8 et b=1/8.Ces deux points sont séparés dans
> E.
> Soit g une bijection de N dans l'ensemble des suites
> de E valant "a" à partir d'un certain rang.
> On suppose g tel que rang (g(n))<=n.
> Soit C le sous-ensemble de E^N muni de la topologie
> produit constitué des suites "u" défini ci-dessous
> lortsque i décrit N.
> Soit l le rang de g(i).
> On pose:
> pour k<l, u(k)=g(i)(k)
> pour tout j dans N, u(f(i,j))=b, u(f(j,i))=a
> et u(k)=a partout ailleurs.
> Je crois bien avoir démontré que C est séparé et
> connexe.

Michel (mmy) · 14/08/2007, 10h36

Citation:

Posté par G13

Mais, ils ne sont pas compacts.
(Si l'espace est compact, on peut prendre une fonction continue prenant plusieurs valeurs dont 0 et 1 mais pas toutes les valeurs entre 0 et 1( vu qu'il est denombrable) ,et donc séparer l'espace en deux ouverts.)

Cette phrase m'intrigue depuis le début. La question semble être: qu'est-ce qui permet de penser qu'une telle fonction continue existe?

Cordialement,

G13 · 14/08/2007, 12h02

C'est le lemme de Urysohn.

Michel (mmy) · 14/08/2007, 14h10

Citation:

Posté par G13

C'est le lemme de Urysohn.

A ce que j'en lis, c'est lié à la notion d'espace normal. Il y-a-t-il une hypothèse qui a été faite qui implique que l'on parle d'un espace normal? Dans la phrase originale il y a "si l'espace est compact, on peut...". Compact implique-t-il normal?

Cordialement,

G13 · 14/08/2007, 17h31

Oui, compact implique normal.
En effet, soit deux fermés disjoints A et B.
On fait le demonstration en deux parties.
D'abord on montre que pour tout y appartenant à B, il existe U ouvert contenant A, W ouvert contenant y tels que U et W disjoints.
Pour cela on prend pour chaque x appartenant à A, un voisinage U_x de x et un voisinage W_x de y tels que U_x et W_x disjoints (vu que la topologie est séparée). Les U_x recouvrent A. Donc on peut en extraire un recouvrement fini (U_xi). Alors l'union U des U_xi est un ouvert contenant A et ne recontre pas l'intersection ouverte W des W_xi qui contient y.

Pour la deuxieme partie, on raisonne de meme:
Soit y appartenant à B, il existe V_y voisinage de y ne rencontrant pas U_y voisinage de A.
Les V_y recouvrent B, donc on peut en extraire un recouvrement fini V_yi.
L'union V des V_yi est un ouvert contenant B et ne rencontrant pas l'intersection U' des U_yi, ouvert contenant A.
Donc l'espace est normal.

Michel (mmy) · 15/08/2007, 11h07

Donc, si j'ai bien compris, compact, séparé et connexe suffit pour impliquer un cardinal soit égal à 1, soit au moins la puissance du continu?

Ensuite, tout espace complètement régulier et T1 est compactifiable par l'ajout d'un point unique (dixit le site de Wolfram); si l'espace d'origine est connexe, cette compactification donne un résultat connexe, non? Donc on peut généraliser ce qui précède à ces espaces-là.

En résumé (so far), en excluant le singleton:

Compact (plus généralement normal), connexe, séparé (T2) => au moins puissance du continu

Connexe, Tychonoff (T3 et demi) => au moins puissance du continu

Y'a bon?

Cordialement,

G13 · 15/08/2007, 23h42

Oui, c'est ca.
Avec un espace localement compact, séparé, connexe, ca marche aussi.