[Maths] [TS vers Sup] Produits scalaires

[.:Spip:.]

Bonjour

et zoup, puisque les exercices de Ledescat n'arrêtent pas de tomber, ne vous privez pas !

Introduction aux espaces vectoriels euclidiens

Définitions: Soit E un espace vectoriel à scalaires réels et x,y deux éléments de E.
| est un produit scalaire sur E et on note (x|y) si et seulement si il vérifie:

- est réel.
-la symétrie:
-la linéarité par rapport à la première variable: (la linéarité par rapport à la seconde variable vient de la symétrie)
-la positivité:
- <=> x=0 (*)

On appelle norme euclidienne de x, et on note
On dit que u et v sont orthogonaux ssi (u|v)=0

Pour (*), ne pas oublier de montrer les 2 implications: (x|x)=0 alors x=0, et si x=0 alors (x|x)=0.

Montrer pour chacun de ces cas que | est un produit scalaire sur E:



I/ E= ensemble des fonctions continues sur [0;1] :



Calculer ||f|| avec f la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x+1
Calculer ||i|| avec i la fonction définie sur [0;1] par i(x)=cos(x)

La fonction h définie sur [0;1] par h(x)=9/5x-1 est-elle orthogonale à f ?


II/ E=IR^3

u(x1,y1,z1) , v(x2,y2,z2)



(Celui-ci est le produit scalaire canonique de IR^3 vu dès la 1S)

Calculer ||w|| avec w=(1,0,2)
Calculer ||v|| avec v=(0,0,-5)

Soit a un réel quelconque.
Le vecteur de coord. (cos(a),sin(a),1) est-il orthogonal au vecteur de coord. (cos(a),-sin(a),-cos(2a)) ?




III/ (*) E= ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 à coefficients dans IR:




Que vaut ?


IV/ (*) E= ensemble des fonctions continues sur [0;1] à dérivée continue sur [0;1]





Propriété importante: Si f continue sur [a,b] , qu'elle y garde un signe constant et que , alors f est identiquement nulle sur [a,b].


bon courage
François
-----

[invitec053041c]

Bonjour.

A noter que ce fil est une continuation du fil de romain-des-Bois sur une intro aux espaces vectoriels, voir ici.

Cordialement.

[Dydo]

Je travaille dessus en ce moment, par contre les questions concernant les fonctions , et ont-elles un rapport avec la démonstration du fait que | soit un produit scalaire sur ou non ?

Et de quelle fonction parle-t-on à la fin du premier cas ?

[invitec053041c]

Je travaille dessus en ce moment, par contre les questions concernant les fonctions , et ont-elles un rapport avec la démonstration du fait que | soit un produit scalaire sur ou non ?

Oui, regarde le post initial: "on appelle norme de x et on note ||x|| etc..."

Et de quelle fonction parle-t-on à la fin du premier cas ?

Oui au temps pour moi, J'ai fait une lourde erreur. C'est le premier h(x)=x+1 avec le second h(x)=9/5x-1.
Je vais tâcher de faire changer les noms par un modérateur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dydo]

Bon voici un début :

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1/ : Les fonctions continues sur [0,1] ( l'intégrale est donc bien définie )



- est une intégrale, qui peut être interprétée en tant qu'"aire sous la courbe" des la fonction , c'est donc un réel par définition :þ

- On a bien :



Puisque la multiplication est commutative dans

- On a aussi :



Puisque la multiplication est associative ( pour la justification de ) et distributive sur l'addition dans .

- Par hypothèse, on a :



Or est toujours positive ou nulle ( c'est un carré ), par positivité de l'intégrale on a donc qui est aussi positif ou nul :þ

- Et dans le cas particulier où il serait nul :

Voilà pour montrer que est un produit scalaire sur ; ça a un quelconque rapport avec les questions suivantes ou non ? Un prérequis peut être ?... sinon on ne pourrait pas utiliser le produit scalaire sur

Pour revenir sur cette histoire d'ensemble vectoriels, un ensemble vectoriel à scalaire réel ça vaut dire que tous les éléments ( vecteurs, c'est ça ? ) de sont ... sont quoi d'ailleurs :s ? Des éléments dont le scalaire est toujours réel ?

Je comprend pas tout ^^ En tout cas n'hésitez pas à me corriger, c'est avec plaisir, je ne sais pas si mes justifications sont suffisantes et assez rigoureuses

[invitec053041c]

Je n'ai pas le temps pour le moment de corriger car je vais aller manger, mais pour ce qui est des normes de fonctions à calculer, il faut évidemment utiliser ce produit scalaire.

Toutes les parties (I,II,III,IV) sont indépendantes.

[invitec053041c]

Je suis d'accord sur tout sauf sur la linéarité par rapport à la première variable.
(af(x)+g(x))h(x)=af(x)h(x)+g(x )h(x) je suis ok. Mais tu n'as pas montré que (af+g|h)=a(f|h)+(g|h)

Sinon un espace vectoriel est un ensemble muni de quelques lois avec quelques axiomes (que tu verras), ses éléments sont appelés des vecteurs (par exemple f est un vecteur de E1).
On peut faire des combinaisons linéaires de ces vecteurs en utilisant des scalaires, qui ici sont dans IR (ils peuvent être dans IQ,dans IC , bref ne compliquons pas , ici on est dans IR ).

[Dydo]

Ben on a bien :

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C'est ce qui est recherché :þ ?

[invitec053041c]

Ben on a bien :

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c'est ce qui est recherché :þ ?

C'est ça mais je ne comprendrai jamais cette manie d'écrire les choses à l'envers de ce qu'on demande .

[Dydo]

Oui mais des fois je sais pas ... je galère dans l'autre sens, et comme ça, ça m'a l'air tout naturel et ça vient tout seul alors que je cherchais depuis quelques minutes de l'autre côté ... alors qu'en fait c'était juste la même chose écrit un peu différemment ... hum, étrange :þ

Sinon une petite question et je vais me coucher, me suis levé tôt ce matin ^^

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Alors pour la fonction , on a :



On peut voir une dérivée d'une fonction puissance de ; on cherche une primitive donc on gagne un degré, enfin on arrive aisément à une primitive telle que :



On a donc, par propriété :



D'où, finalement :

( la racine positive puisque la fonction est à valeurs positives sur l'intervalle :þ )

A demain pour la suite

[invite4c8a24e7]

Salut Dydo c'est dododo, ledescat viens de te refaire la remarque que je t'avais faite tu écrit tout à l'envers (enfin c'est pas de l'envers mais c'est bizare) et moi je pense que en écrivant comme ça toutes tes démonstrations sont fausses, tu ne part pas de ce que tu veux prouver tu inverse je ne sais pas trop quoi qui doit normalement venir juste aprés enfin je te le dit pour toi mais il me semble que en sup un prof te competra tout faux !!! Fait attention !!

[invitec053041c]

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D'où, finalement :

( la racine positive puisque la fonction est à valeurs positives sur l'intervalle :þ )

Je suis d'accord pour la norme, mais elle n'est absolument pas positive car la fonction prend des valeurs positives. On pose ||f||=sqrt(f|f) qui est toujours positif ou nul.

[invite4c8a24e7]

Il n'y a pas une erreur dans l'une des conditions, je n'en sui vraiment pas sur c'est pour ca que ca à l'air d'une question ?

Spip a écrit :

Mais ce n'est pas plutôt :

Je n'en suis pas sur, je veux bien une explication si je me trompe. Merci @+ Dodo

[invitec053041c]

Euh, c'est la même chose .

A partir du moment où j'écris (u|v), tout ce qu'il y a entre ( et | représente le premier vecteur du produit, à savoir l.x1+x2.

[invite4c8a24e7]

Ok merci ledescat c'est toujours bon à savoir quelles notations sont équivalentes.

[Dydo]

C'est ce que j'ai montré d'ailleurs J'allais justement poser la question concernant la rigueur du raisonnement à l'envers pour certains calculs, la relation d'égalité est symétrique, donc l'écriture de la suite d'égalités dans le sens inverse est-il réellement peu rigoureux ?

[Dydo]

Par contre je vais pas dire mais ... je bloque un peu sur ce cosinus :s On doit bien intégrer entre 0 et 1 ?

[invitec053041c]

C'est ce que j'ai montré d'ailleurs J'allais justement poser la question concernant la rigueur du raisonnement à l'envers pour certains calculs, la relation d'égalité est symétrique, donc l'écriture de la suite d'égalités dans le sens inverse est-il réellement peu rigoureux ?

Oui ça revient au même. Mais si ton prof te demande de montrer que A=B, il est préférable de faire A=...=B que B=...=A, question d'esthétisme .

Sinon oui, il faut intégrer cos² entre 0 et 1, n'oubliez pas la linéarisation .

[invite4c8a24e7]

Bonjour,

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II.

Soient : et



(i) est par définition réel puisque et

(ii) La symétrie est assurée par symétrie de la multiplication sur .



(iii) On pose :

Le vecteur a pour coordonnées



La symétrie est ainsi démontrée.

(iiii) Ce qui assure la possitivé par élévation au carré de la norme euclidienne de .

(iiiii) Si alors ce qui entraine . La réciproque est directe. Ce qui assure l'équivalence.

Calcul de avec :





-

et




Ainsi ces deux vecteurs sont orthogonaux.

[invitec053041c]

Bonjour.

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(i) est par définition réel puisque et

Ok, peut-être aurait-il fallu précisier que multiplier et additionner 2 réels donne toujours un réel (vous verrez qu'on dit que + et x sont des lois de composition interne chez les réels).

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(iii) On pose :

Le vecteur a pour coordonnées



La symétrie est ainsi démontrée.

Pas la symétrie, la linéarité par rapport à la première variable.
Sinon le développement est correct, mais les profs en général aimeront que les 2 produits scalaires engendrés soient explicités (avec factorisation par lambda , tout ça).

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(iiii) Ce qui assure la possitivé par élévation au carré de la norme euclidienne de .

Non, tu utilises une conséquence de la propriété pour montrer cette propriété.
| étant un p.s, (u|u)>=0 donc ||u||=sqrt(u|u) a un sens.
Comment montrer très simplement que (u|u)>=0 ?

Sinon je suis d'accord pour tout le reste.
Allez corrige-moi ces petites erreurs .

Quelqu'un pour me donner ||cos(x)|| avec le p.s I ?

[invite4c8a24e7]

Bon ben pour l'erreur de la positivité j'avais fait ca pour aller plus vite mais alors on peut faire tout simplement : ce qui assure la positivité.

A oui j'ai vu ca les lois de composition interne,si x et y sont des éléments d'un ensemble E on dit que la loi * est une loi de composition interne si x*y est un élément de E. C'es bien ca?

[invite4c8a24e7]

On a :

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Donc :

[invite4c8a24e7]

Il manque toutes les racines carrés sur tout les seconds membres de chaque égalité.

Donc :

[invitec053041c]

Pour ton post #22 je suis d'accord pour le résultat final, à la racine près. En revanche je ne vois pas comment tu es passé de ça au résultat du dernier post, avec un seul membre sous la racine, tu as oublié quelque chose .

Sinon c'est bien ça une loi de composition interne (lci pour les intimes ).

[invite4c8a24e7]

Oui mon + c'est transformé en un . lol .

Donc :

[invitec053041c]

Ah c'est bon .

[invite4c8a24e7]

Re bonjour :

IV.

= ensemble des fonctions continues sur [0,1] à dérivé continue sur [0,1] :



(i) Les fonctions f et g ne sont pas des fonctions à valeurs complexe mais réelle donc est un réel ainsi que donc est bien un réel.

(ii)

Ce qui assure la symétrie.

(iii) Soient .







Ce qui démontre la linéarité par rapport à la premiére variable.

(iiii) Soit .



et




(iiiii) Montrons que si alors .





La fonction est continue sur l'intervalle [0,1] puisque la dérivée de la fonction f est continue sur cet intervalle. La fonction z étnt la somme de deux carré elle reste positive pour tout t de l'intervalle [0,1] et garde donc un signe constant.

Donc :









Ainsi :

Réciproque :

Si alors

Ce qui démontre l'équivalence :


Conclusion : C'est bien un produit scalaire sur

[invitec053041c]

D'accord tout est bon.
Il aurait été préférable de mettre une balise spoiler pour ne pas exhiber les réponses aux personnes voulant faire cet exercice, tant pis.

EDIT: C'est normal que tu ne veuilles que faire les questions paires?

[invite4c8a24e7]

Ra encore désolé pour les spoiler j'y pense jamais si un moderteur passe par là il peut les mettre. Heu pour les questions paires ben c'est que la premiére est assez classique (juste propriété sur les intégrales presque) et les polynômes bon aller je vais la faire celle là mais les rasonnements sont presque pareil à certain moment que avec la question II.

[invite4c8a24e7]

Je fait une question qui porte un chiffre impairpour faire plaisir à Ledescat :

III.

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(i) et (ii) Le cas réel et trivial car ce sont des polynômes à valurs réelles , l symétrie repoe sur la symétrie de la multiplication dns le corps des réels.

(iii) Soient



(iiii) Pour la positivité c'est la somme de carré.

(iiiii)
Ce qui entraine que

La réciproque est directe, ce qui démontre l'équivalence.

Conclusion : C'est bien un produit scalaire sur E.