Equation avec entiers naturels

wolfЭn · 07/09/2007, 19h41

salut a tous,
mon prof de math nous a donné cette équation:

n^p=pⁿ

avec n et p dans N*

j'ai essayé de transformer la puissance en fonction exponentielle mais j'arrive a une expression irrésoluble avec des logarithmes.

alors une piste?

merci d'avance

Duke Alchemist · 07/09/2007, 20h48

Bonsoir.

As-tu essayé de poser p=k*n avec k naturel non nul (cela va de soi) ?
Ensuite, il suffit d'exprimer n en fonction de k et en déduire p en fonction de k
Tu auras ainsi, tous les couples (n,p) solutions de ton équation.

Duke.

Nox · 07/09/2007, 20h51

Bonjour,

Tu as du arriver à quelque chose du genre $\frac{\ln(n)}{n}=\frac{\ln(p)} {p}$ . Je serais alors tenté d'étudier la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ .
Mais peut-être que c'est une piste qui n'aboutira pas ..

Cordialement,

Nox

Ledescat · 07/09/2007, 22h34

Citation:

Envoyé par Nox

Bonjour,

Tu as du arriver à quelque chose du genre $\frac{\ln(n)}{n}=\frac{\ln(p)} {p}$ . Je serais alors tenté d'étudier la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ .
Mais peut-être que c'est une piste qui n'aboutira pas ..

Cordialement,

Nox

C'est en général assez casse-gueule d'utiliser ln et exp en arithmétique, mais ça n'est que mon humble avis

.

easythomas · 08/09/2007, 00h48

De mémoire ça se résout en 2 2 justement avec une étude de fonction

Le truc c'est d'étudier lnx/x et de voir pour quelles valeurs de x f(x) admet deux antécédents (x et...). On s'aperçoit que x € [1;e] je laisse les études de cas...

wolfЭn · 09/09/2007, 21h04

ok ça marche avec l'étude de fonction, le seul couple solution est (2;4)
merci!

indian58 · 09/09/2007, 21h30

Citation:

Envoyé par wolfЭn

ok ça marche avec l'étude de fonction, le seul couple solution est (2;4)
merci!

Tu peux aussi le résoudre "arithmétiquement" mais c'est un poil plus long.

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