TS : récurrence

[Birdy77]

petit besoin d'aide pour un DM de début d'année

n est un entier naturel supérieur ou égal à 3. Sur un cercle, on dispose, dans l'ordre, n points A₁, A₂..., A_n de telle sorte qu'on obtienne un polygone convexe de n sommets inscrits dans le cercle.
On note D_n le nombre de diagonales d'un tel polygone.

1. Déterminez D₃, D₄, D₅ et D₆.

2. Démontrez que l'on peut trouver 2 réels a et b tels que D_n = an² + bn pour tout compris entre 3 et 6.

3. On ajoute un point B sur le cercle, par exemple entre A₁ et A_n, et on obtient un nouveau polygone convexe A₁A₂...A_nB ayant n+1 sommets.

• Les D_n diagonales du polygone A₁A₂...A_n sont des diagonales du polygone A₁A₂...A_nB.

• [A₁A_n] et les diagonales issues de B sont de nouvelles diagonales de ce polygone.

a) Trouvez une relation de récurrence entre les nombres D_n+1 et D_n.

b) Calculez D_n pour tout entier supérieur ou égal à 3.

nous avons donc biensûr commencé à répondre :

1. D₃ = 0
D₄ = 2
D₅ = 5
D₆ = 9

2. aucune réponse trouvée

3.a) D_n+1 = D_n + (n-1)

b) pas trouvé non plus

merci de nous aider à trouver les réponses à ces questions

[Birdy77]

petite correction :

petit besoin d'aide pour un DM de début d'année

n est un entier naturel supérieur ou égal à 3. Sur un cercle, on dispose, dans l'ordre, n points A₁, A₂..., A_n de telle sorte qu'on obtienne un polygone convexe de n sommets inscrits dans le cercle.
On note D_n le nombre de diagonales d'un tel polygone.

1. Déterminez D₃, D₄, D₅ et D₆.

2. Démontrez que l'on peut trouver 2 réels a et b tels que D_n = an² + bn pour tout n compris entre 3 et 6.

3. On ajoute un point B sur le cercle, par exemple entre A₁ et A_n, et on obtient un nouveau polygone convexe A₁A₂...A_nB ayant n+1 sommets.

• Les D_n diagonales du polygone A₁A₂...A_n sont des diagonales du polygone A₁A₂...A_nB.

• [A₁A_n] et les diagonales issues de B sont de nouvelles diagonales de ce polygone.

a) Trouvez une relation de récurrence entre les nombres D_n+1 et D_n.

b) Calculez D_n pour tout entier supérieur ou égal à 3.

nous avons donc biensûr commencé à répondre :

1. D₃ = 0
D₄ = 2
D₅ = 5
D₆ = 9

2. aucune réponse trouvée

3.a) D_n+1 = D_n + (n-1)

b) pas trouvé non plus

merci de nous aider à trouver les réponses à ces questions