Bonjour,
Voilà j'ai résolu un exercice et je vous demande de me corriger si cela ne vous dérange pas, et si possible, de me donner une solution alternative (même si la mienne est correcte ?).
Démontrer que 
est irrationnel.
On suppose
racine d'un polynôme à coefficients entiers que l'on va déterminer (dans le cas général) :
Soient a et b deux entiers naturels non carrés parfaits vérifiant
et étant racine d'un polynôme à coefficients entiers. On a :
^{2}=4ab\ )
-4ab=0\Leftrightarrow x^{4}-2x^{2}(a+b)+(a-b)^{2}=0 )
Réciproquement, on vérifit que
+(a-b)^{2} )
convient. Ainsi,
est racine de
. Or, si
est racine d'un polynôme à coefficients entiers, alors
et
Supposons alors par l'absurde
rationnel. Il existe donc deux entiers premiers entre eux vérifiant :
.
Ainsi, p | 1 et q | 1, puisque
est racine de
.
D'où
 )
et
 )
et puisque
alors on doit avoir :
On vérifit que cette égalité aboutit à une contradiction D'où
irrationnel.
Aujourd'hui
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