Un point de vue plus géométrique :
faisons "visible" donc prenons l'exemple d'une fonction à deux variables f(x,y).
On a d'un point de vue vectoriel
}=\frac{\partial f}{\partial x}\vec(i)+\frac{\partial f}{\partial y}\vec(j) )
Or,
=f(x_0,y_0)+ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)(y-y_0)+o(\sqrt{x_0^2+y_0^2) )
En posant
\vec{i}+(y-y_0)\vec{j}\et\, M_0 : (x_0, y_0) )
, on a :
=f(M_0)+ \(\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\)\vec{\del r}+o(\del r) )
=f(M_0)+ \vec{grad(f)(M_0)}\,.\vec{\del r}+o(\del r) )
Ce qui signifie entre autres que si l'on se déplace selon une ligne de même niveau (f=cste) alors
est orthogonal à cette ligne. le gradient est en fait la pente de la surface d'équation z=f(x,y) en chacun des points.
Un point de vue plus "différentielle" (c'est une forme duale très utilisée en l'analyse et en géométrie entre autres)
(juste l'idée ou "à la physicienne") on a vu que :
=f(x_0,y_0)+ \frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)+o(\sqrt{x_0^2+y_0^2) )
Rendons x_x
0 et y-y
0 infinitésimale cela devient :
=f(x_0,y_0)+ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)dy )
, ou encore :
=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)dy=\vec{grad(f)}(x_ 0,y_0) \,.(dx\vec{i}+dy\vec{j}) )
où D signifie dérivée totale.
Le gradient est la dérivée totale d'une 0-forme différentielle (en gros d'un champ scalaire pour faire simple)
On peut dériver totalement une 1-forme différentielle w=a(x,y)dx+b(x,y)dy
dx+b(x,y)dy)=D(a(x,y)d x)+D(b(x,y)dy)=D(a(x,y))\wedge dx+a(x,y)\wedgeD(dx)+D(b(x,y)) \wedgedy+b(x,y)\wedgeD(dy)\\=( \frac{\partial a}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial a}{\partial y}(x,y).dy)\wedge dx\,+\,0\,+\,(\frac{ \partial b}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial a}{\partial y}(x,y).dy)\wedge dy\,+\,0\\<br />
=\frac{\partial a}{\partial x}(x,y)dx^2+\frac{\partial a}{\partial y}(x,y).dy\wedge dx\,+\,\frac{ \partial b}{\partial x}(x,y)dx\wedge dy+\frac{\partial a}{\partial y}(x,y).dy^2 )
Or,
(on intègre sur des surfaces, des volumes... donc ces dx se comportent avec les mêmes propriétyés d'antisymétrie qu'un déterminant) donc :
-\frac{ \partial a}{\partial y}(x,y)) dx\wedge dy )
On tombe sur le rotationnel (vous pouvez regarder pour une forme à trois variables)
En particulier si on applique à un gradient D(f)
=\frac{\partial f}{\partial x}\,,\, b(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y} )
=D(D(f))=\(\frac{ \partial \(\frac{\partial f}{\partial y}\)}{\partial x}(x,y)-\frac{ \partial \(\frac{\partial f}{\partial y}\)}{\partial y}(x,y)\) dx\wedge dy\\<br />
=\(\frac{\partial ^2(f)}{\partial x \partial y}-\frac{\partial ^2(f)}{\partial y \partial x}\) dx\wedge dy=0 )
dès que f est suffisamment régulière.
On retrouve qu'un gradient "ne tourne pas".
Cela permet de voir que le rotationnel d'un champ de covecteurs (dx, dy, dz... sont des formes linéaires des espaces tangents).
Un illustration du fait que le rotationnel calcule "comment ça tourne ?"
On se place sur un petit carré de sommets (x,y) (x+d'x,y) (x+d'x,y+d'y) (x,y+d'y). Et on calcule l'intégrale du vecteur tangent le long du contour de ce carré aux infiniment petit d'ordre 2
entre (x,y) et (x+d'x,y) vecteur tangent i (dx->1 dy->0), on se déplace de d'x selon une valeur moyenne égale à
+\frac{\partial a}{\partial x}d'x/2 )
d'où une intégrale égale à
d'x+\frac{\partial a}{\partial x}d'x^2/2 )
entre (x+d'x,y) et (x+d'x,y+d'y) vecteur unitaire tangent j (dx->0 dy->1), on se déplace de d'y selon une valeur égale à
+\frac{\partial b}{\partial x}d'x+\frac{\partial b}{\partial y}d'y/2 )
d'où une intégrale égale à
d'y+\frac{\partial b}{\partial x}d'xd'y+\frac{\partial b}{\partial y}d'y^2/2 )
Entre (x+d'x, y+d'y) et (x, y+d'y), vecteur tangent unitaire -i (dx->-1, dy->0) déplacement de d'y valeur moyenne
+\frac{\partial a}{\partial x}d'x/2+\frac{\partial a}{\partial y}d'y )
d'où une intégrale égale à
d'x-\frac{\partial a}{\partial x}d'x^2/2-\frac{\partial a}{\partial y}d'xd'y )
Entre (x, y+d'y) et (x,y),vecteur unitaire tangent -j (dx->0 dy->-1) déplacement de d'x valeur moyenne
+\frac{\partial b}{\partial y} d'y/2 )
donc intégrale égale à
d'y+\frac{\partial b}{\partial y} d'y^2/2 )
L'intégrale sur l'ensemble du contour vaut donc :
(d'x-d'x)+b(x,y)(d'y-d'y)+\frac{\partial a}{\partial x}(d'x^2/2-d'x^2/2)-\frac{\partial a}{\partial y} d'xd'y+\frac{\partial b}{\partial b}{\partial x}d'xd'y+\frac{\partial b}{\partial y} (d'y^2/2-d'y^2/2) )
d'xd'y )
Le rotationnel peut donc être vu comme l'intégration le long d'un contour infinitésimal d'où son nom.
Si on prend une partie
du plan sans trou limité par une courbe régulière
, on peut découper en petits rectangles de ce type, (les intégrales sur les contours intérieurs s'annulent deux par deux : une fois parcouru dans un sens une fois dans l'autre : c'est beau de simplicité), dans la somme totale il ne reste que l'intégrale le long du contour. On aboutit à la formule de Stockes dans le plan pour w une forme différentielle (très utilisé en électromagnétisme entre autres)
dx+b(x,y)dy)\vec{dr}= \iint_{\Omega} \(\frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y}\)d'xd'y=\iint_{\Omega} rot(w)d'xd'y )
, résumé en cette superbe formule :
Ce qui est vrai au niveau infinétésimal est vrai aussi en fini (tant qu'il n'y a pas de trous).
Le montrer de manière générale est plus délicat mais l'essentiel de l'idée est là.
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