triangle de sierpinski

davidtripo · 14/10/2004, 15h29

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi le triangle de sierpinski vaut log3/log3?
Parce que j'arrive pas a trouver ce résultat quand j'essaie de le démontrer...

**shokin** · 14/10/2004, 15h43

C'y quoé le triangle de Sirpinski ?

Shokin

humanino · 14/10/2004, 15h59

Citation:

Posté par davidtripo

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi le triangle de sierpinski vaut log3/log3?
Parce que j'arrive pas a trouver ce résultat quand j'essaie de le démontrer...

log3/log2 !!!
Dimension = log(nombre de pieces) / log(facteur (linéaire) de réduction)

(la base du logarithme ne compte pas, elle se simplifie !!!)

Par exemple, un carré : si tu divises le côté par deux, il te faudra 4 petits pour recouvrir le grand : dim = 2.
Un cube, il t'en faudra 8 : dim = 3.

Ici, à l'étape n+1, tu divise chaque triangle restant d'un facteur (unidimensionnel) 2, et il te faut pour chaque triangle divisée 3 nouveaux petits.

pédagogique
rigoureux
mathworld

humanino · 14/10/2004, 16h13

Le mieux, c'est la dimension dite de Hausdorff-Besicovitch : pour un ensemble de points, c'est la limite d'un rapport : $D=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}-\frac{log(N)}{log(\epsilon)}$ où $N$ est le nombre de points contenus dans une boule de rayon $\epsilon$ . Le signe "moins" vient du $\epsilon$ qui est petit : en fait ce nombre $N$ varie comme $D\sim \epsilon^{-D}$
mathworld

La dimension de Hausdorff-Besicovitch peut dépendre du point où on l'étudie ! Typiquement, les multifractals n'ont pas une dimension constante. Un attracteur étrange est souvent multifractal par exemple. "Ah ! quel étrange tracteur..."

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos
http://www-ensimag.imag.fr/eleves/pe...leda/tipe2.htm
hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/node83.html

**shokin** · 14/10/2004, 16h21

Ah ! d'accord, je ne savais pas qu'il s'appelait Sire Pins Ki.

Pardonnez-moi, votre majesté, d'avoir fait défaut à votre identité si réelle.

C'est quoi ce log3/log2 ?

Shokin

davidtripo · 14/10/2004, 16h25

g du mal a comprendre cette dimension de hausdorff, j'arrive a faire la distance de hausdorff mais pas la dimension...

vuibert · 14/10/2004, 21h50

Citation:

Posté par humanino

Le mieux, c'est la dimension dite de Hausdorff-Besicovitch : pour un ensemble de points, c'est la limite d'un rapport : $D=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}-\frac{log(N)}{log(\epsilon)}$ où $N$ est le nombre de points contenus dans une boule de rayon $\epsilon$ .

Vraiment? Ca semble bizarre car je ne vois pas pourquoi N serait fini. Ne faut-il pas supposer une separation minimum entre les points?

mytikjuve · 14/10/2004, 23h16

Le log2/log3 vien de la theorie fractale:
enfait, le triangle est de dimension log2/log3.
Dans toute figure geometrique, on a d=log n/log k si je me souvient bien, ou d est la dimension de la figure, n est le nombre de motif, et k le coeficient d'homotetie interne: par exemple pour un carré auqul on double les dimension des coté on a d=log4/log2 car le carré de départ apparait 4 fois et donc d=2.
Dans le triangle de sierpinski, lorsque l'on double les coté, le triangle de départ n'apparait que 3 fois au lieu de 4 on a donc d=log3/log2.
ce qui ammene a une dimension inferieure a 2 mais supérieur a un!!!
Cela signifie que lorsque l'on regarde le triangle de loin, on voit un triangle classique avec une aire et un perimetre classique. Mais plus on s'approche, et plus le triangle grossit, plus le perimetre tant vert l'infini du fait de l'apparition de triangles internes au triangle, et l'aire tant finalement vers 0. c'est un peu compliqué a comprendre si on est pas habitué mais bon.
De la meme facon, un objet de dimension comprise entre 2 et 3 tendrait vers une aire infinie et un volume nul (cf eponge de sierpinski).

Et pas besoin de parler de boule pour expliquer le log3/log2!!!

**shokin** · 14/10/2004, 23h22

et pour un pentagone régulier, on a log5/log2 ?

et pour un cercle

? infini ?

Shokin

mytikjuve · 14/10/2004, 23h31

Je comprend pas bien la question, mais bon pour un pentagone "normal", on doit avoir log4/log2 normalement car il est en 2 dimension, et pour le cercle c pareille. Mais j'arrive pas a me construire an pentagone regulier de dimension d= logn/log2 ou n est forcement inferieur a 4 dans le plan. Mais c'est peut etre parce que je suis pas doue

**shokin** · 14/10/2004, 23h40

C'est vrai que la construction à l'infini ne semble possible que pour le triangle équilatéral.

Shokin

humanino · 15/10/2004, 09h24

Citation:

Posté par mytikjuve

Et pas besoin de parler de boule pour expliquer le log3/log2!!!

sauf que, l'explication avec les mains, elle était déjà donné au #3 :

Citation:

Dimension = log(nombre de pieces) / log(facteur (linéaire) de réduction)

Par exemple, un carré : si tu divises le côté par deux, il te faudra 4 petits pour recouvrir le grand : dim = 2.
Un cube, il t'en faudra 8 : dim = 3.

La seule façon de rendre ce concept rigoureux et systématique, c'est la dimension de Hausdorff-Besicovitch et ce n'est pas compliqué ou mystérieux : si tu veux "jauger", i.e. faire une mesure, tu utilises une référence que tu appliques à un objet : "combien de fois puis-je appliquer ma rêgle le long de cette planche ?" te donneras la longueur de la planche. Ici on rend la mesure plus générale : la jauge (rêgle) devient une boule de rayon $\epsilon$ . Cette boule est relative à une certaine métrique, ou norme, donc elle n'est pas forcément "ronde". Un cube est une boule pourvu que l'on utilise la norme "max(valeur absolues des coordonnées)". Ce fait est bien connu. Donc le :
$D=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}-\frac{log(N)}{log(\epsilon)}$
c'est vraiment la généralisation et la formalisation mathématique du concept de mesure physique. C'est très important, et ce n'est pas si compliqué. Avec une jauge qui est une boule de rayon $\epsilon$ on recouvre une certaine partie de l'objet, dont la mesure varie suivant une loi de puissance, et l'eposant de cette loi est la dimension généralisée par Hausdorff-Besicovitch

En informatique on a toujours un ensemble fini discret de points quand on simule un fractal d'où le $N\sim \epsilon^{-D}$
Dans le cas où l'on n'a pas un ensemble discret de points, $N$ représente un "volume" généralisé, c'est une mesure adaptée (au sens de mesure de Lebesgue) qui doit se faire avec un certain exposant qui est la dimension.

Stephen · 15/10/2004, 09h47

Citation:

Posté par humanino

Le mieux, c'est la dimension dite de Hausdorff-Besicovitch : pour un ensemble de points, c'est la limite d'un rapport : $D=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}-\frac{log(N)}{log(\epsilon)}$ où $N$ est le nombre de points contenus dans une boule de rayon $\epsilon$ . Le signe "moins" vient du $\epsilon$ qui est petit : en fait ce nombre $N$ varie comme $D\sim \epsilon^{-D}$
mathworld

La dimension de Hausdorff-Besicovitch peut dépendre du point où on l'étudie ! Typiquement, les multifractals n'ont pas une dimension constante. Un attracteur étrange est souvent multifractal par exemple. "Ah ! quel étrange tracteur..."

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos
http://www-ensimag.imag.fr/eleves/pe...leda/tipe2.htm
hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/node83.html

Juste pour préciser : cette dimension métrique est apparue initalement dans un article dû à Lev Pontrjagin & Lev Schnirelmann, n'a de sens que pour les ensembles compacts, et en prenant l'infimum sur toutes les métriques compatibles avec la topologie on obtient un invariant topologique, qui se confond avec la dimension topologique (au sens de Hausdorff).

On parle de fractale lorsque la dimention métrique ne coincide pas avec la dimension topologique.

humanino · 15/10/2004, 09h51

Citation:

Posté par Stephen

Juste pour préciser : cette dimension métrique est apparue initalement dans un article dû à Lev Pontrjagin & Lev Schnirelmann ...

Merci beaucoup pour cette précision ! Je l'ignorais totalement, et ça fait quelques mois maintenant que je me gratte la tête à propos d'index de Pontrjagin dans le cadre de l'interaction forte et des instantons, donc je commencais justement à me dire que le gars Pontrjagin il devait en avoir sous le chapeau