Série convergente -> série abst convergente

**MiMoiMolette** · 29/09/2007, 18h09

Hello,

Petit problème sur les séries :/

Je n'arrive pas à prouver que :

Si $\sum_{n \geq\;0} a_n^2\$ converge, alors $\sum_{n \geq\;1} \frac{a_n}{n}$ converge absolument.

J'ai essayé de me servir de l'hypothèse selon laquelle $\sum_{n \geq\;0} a_n^2\$ converge et en déduire que $a_n^2$ est décroissante, mais ça ne mène à rien.

Si j'essaie de me servir de la racine de $a_n^2$ , certes, j'obtiens la valeur absolue de la suite, ce qui pourrait me servir pour le terme $\sum_{n \geq\;1} \frac{a_n}{n}$ car on veut démontrer sa convergence absolue et qu'il faut se servir de la valeur absolue du terme. Mais encore une fois, je n'arrive à rien

Je veux même pas une solution, mais une piste pour quelqu'un de désespéré ne serait pas de trop :/

Merci :$

PS : je débute en écriture TeX alors sorry pour les grossieretés de présentation ^^'

Ksilver · 29/09/2007, 18h19

Salut !

"et en déduire que an est décroissante" >>> en qu'elle honeur ??? ta suite a aucune raison d'etre décroissante !

bon, je suppose que an désigne une suite réel (sinon le résultat est faux...).

apres c'est une inégalité de cauchy :

(la sommes des |an|/n )² < somme des (an²) * somme des (1/n²)

(on l'ecrit sur des somme finit, et on fait tendre vers l'infinit ensuite...)

**MiMoiMolette** · 29/09/2007, 22h59

Coucou

Oui, erreur sur la décroissance. Je ne sais plus ce que j'avais déduit de la convergence de la première série...mais en tout cas, ça n'avait rien donné.
Et oui, il s'agit bien d'une suite réelle.

Pour l'inégalité de Cauchy (théorème de Cauchy-Schwarz, n'est-ce pas ?), on n'utilise pas les intégrales ? Et non des sommes ? (dans mon poly, ce sont des intégrales en tout cas)

Et y a-t-il un théorème permettant de dire que le produit de deux sommes convergentes est convergente ?
Et un autre pour passer de la convergence du carré d'une somme à celle de la somme ? :/

Bon, j'suis peut-être à l'ouest...Mais j'essaie de comprendre

Ksilver · 29/09/2007, 23h15

l'inégalité de cauchy schwarz dit de facon géneral :

(x|y) =<||x|| ||y||

qu'on ecrit plutot :
(x|y)² =<||x||²||y||²

on applique cela au produit scalaire de R^n classique, et on obtiens :

(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)² < (a1²+..+an²)*(b1²+..bn²)
(inégalité large...)
on applique cela avec et |an| pour an et bn=1/n, et on obtiens que :

(|a1|/1+...+|an|/n)² < (a1²+...+an²)*(1+..+1/n²)

la somme des 1/n² converge et la somme des ai² converge, ce sont des série a terme positif donc :
(a1²+...+an²) < somme des ai² pour i=1 a +infinit
(1+..+1/n²) < sommes des 1/n² pour n=1 a +infinit ( qui vaut Pi²/6... mais ca n'est pas important)

donc la sommes des |ai|/i est majorer, et une série a terme positif majoré converge... d'ou le résultat : la série de ai/i est absoluement convergente.

**MiMoiMolette** · 29/09/2007, 23h30

Oh !

Avec ça, je comprends beaucoup mieux. Le seul problème, c'est que je n'ai pas encore fait les scalaires cette année ^^'
Je viens de revérifier dans mon poly, le seul "Cauchy Schwarz" mentionné pour le moment est un théorème qui fait intervenir des intégrales.

Je ne remets pas du tout en cause ta réponse (qui a l'air parfait

), c'est juste que je suis du genre à chipoter jusqu'à comprendre tous les éléments d'une démonstration, jusqu'à ce que je n'aie plus rien à critiquer (ouais, c'est chiant, désolée

). Mais là, on n'est peut-être pas du même niveau, ou bien on ne parle pas de la même chose... En tout cas, je ne suis pas sûre de pouvoir utiliser ça...

Vais méditer un peu, ça aidera peut-être ^^

En tout cas, un GROS merci à toi, j'ai au moins une réponse à formuler

Ksilver · 30/09/2007, 11h01

je doute fortque cette exo soit faisable sans cauchy scwhartz

si tu es vraiment sur de ne pas l'avoir vu, applique la version que tu connais (sur les intégral) entre 0 et n a la fonction f qui vaut a1 entre 0 et 1, a2 entre 1 et 2... en entre (n-1) et n. et a la fonction g qui vaut b1 entre 0 et 1... bn entre (n-1) et n, et tu obtiendra la forme que j'ai donné...

**MiMoiMolette** · 30/09/2007, 17h19

Coucou

Encore une fois, merci !

J'ai trouvé la solution (sur une page quand même ^^). Je me suis servie de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (pas encore vue en cours, mais présente dans le poly) et comme tu l'as suggéré, en passant des intégrales aux sommes, ça s'arrangeait.

indian58 · 30/09/2007, 17h50

Citation:

Posté par Ksilver

je doute fortque cette exo soit faisable sans cauchy scwhartz

Non, tu peux par exemple dire que |an/n| <= an²+ 1/n². Comme cela pas besoin de Cauchy-Schwartz.

**MiMoiMolette** · 30/09/2007, 19h14

Citation:

Posté par indian58

Non, tu peux par exemple dire que |an/n| <= an²+ 1/n². Comme cela pas besoin de Cauchy-Schwartz.

Si c'était aussi simple... ^^

J'avais pensé à ça, mais imagine si an est < 1. an est alors > à an² et ton inégalité est fausse ;p

Et en fait, c'est très probable vu que somme des an² converge => an² tend vers 0. Or, an² > 0. Donc an² est décroissante. (ça a intérêt à être juste ce truc :/)

Ksilver · 30/09/2007, 19h27

Si indian58 à raison, l'inégalité est juste : on a meme |an|/n <= (an²+1/n²)/2

en effet : |an|²-2*|an|/n +1/n² =(|an|-1/n)² >= 0

d'ou le résultat.

**MiMoiMolette** · 30/09/2007, 19h46

Mais aaaaaaaaaaargh !!!

Ok.

Midi à 14h, me v'là