transformation de laplace contre transformation complexe ?

[crntn]

bonjour,
pour chercher la réponse s(t) d'un système du premier ordre:

T ds(t)/dt + s(t) = e(t)

lorsque e(t) est une fonction sinusoïdale e(t) = sin (w.t)

on peut utiliser la transformation complexe et on trouve ainsi
la fonction de transfert complexe du système:

H(jw)=1/(1+jwT)

et grâce à elle s(t):

s(t)=(1/sqr(1+(Tw)²) . sin (wt - arctg (Tw))

(sqr(x) pour racine carrée de x)

on peut aussi essayer d'utiliser la transformation de Laplace,
on aura alors:

S(p)=1/(1+Tp) . w/(w²+p²)

après décomposition en éléments simples de S(p) on peut
appliquer une transformation de Laplace inverse et on trouve:

s(t)=[wT/(1+(Tw)²) . e(-t/T)] + [wT/sqr(1+(Tw)²) . sin (wt-arctg(Tw))]

lorsque t devient très grand le premier terme tend vers zéro à cause de
l'exponentielle, il reste donc pour s(t) le deuxième terme que l'on peut
apparenter à la réponse du système en régime permanent sinusoïdal.

oui mais voilà, lorsque l'on compare avec la réponse obtenue avec la
transformation complexe il apparait une différence qui est le facteur wT
au numérateur.

si les calculs sont exacts, comment peut-on expliquer cette différence ????
merci beaucoup