Quadrilatère en Meccano

[Jeanpaul]

Bonjour,
Un exercice amusant dans le Monde il y a 3 jours. Reformulé : on fabrique un quadrilatère articulé avec des tiges de Meccano (les longueurs des morceaux sont quelconques). Le quadrilatère doit rester convexe (les tiges ne peuvent se croiser).
1) Est-il toujours possible de faire en sorte que les 4 sommets soient sur un cercle ?
2) Montrer que dans cette configuration (4 sommets sur un cercle), l'aire est maximale.

[martini_bird]

Bonjour,

à première vue, je répondrais non à la première question et dirais que la seconde configuration correspond à un carré inscrit dans un cercle. Est-ce que je suis tombé dans le piège?

[zaron]

Bonjour,

Evidemment on sait que par 3 points passe un cercle et un seul et donc si le quatrieme ne peut etre tout le temps sur le cercle, malgré tout je vois plus le probleme comme

Comment assembler 4 morceau de mecanno de longueur données poure que les 4 sommets soient sur un cercle et la je pense que la reponse est ou, le carré n'eatnt qu'un cas particulier

je cherche , bonne continuation

[zaron]

Desole pour les coquilles que je decouvre en relisant mon msg

[zaron]

pour le premier point

Si on suppose les 4 sommets Xi (xi, yi)

on peut ecrire 8 equations

xi^2 + yi^2 = R^2

si on prend les longueurs de corde

on trouve 4 autres equations

li^2/2 = R^2 - (xixj + yiyj) ou li(est la longueur du segment [XiXj]

si on fixe les coordonnées d'un des points

on doit obtenir un systeme presque lineaire de 8 equations à 8 inconnues qui devrait avoir une solution

merci de vos commentaires

[Sylvestre]

Bonjour,

Il me semble avoir une preuve que l'on peut toujours déformer pour l'inscrire dans un cercle. Voici comment faire. Pour que les quatre points A,B,C et D soient sur un cercle, il faut et il suffit que l'arête AB soit vue sous le même angle par C et D. Ensuite, il y a toujours trois des quatre points qui peuvent être alignés, en effet, il suffit de trouver deux arêtes consécutives dont la somme des longeurs est plus courte que la somme des deux autres. Soient A,B et C, ces trois points alignés. C voit AB sous un angle de zéro degrés et D sous un angle inconnu mais positif. Ensuite, nous pouvons faire tourner C de manière à ce que l'angle sous lequel il voit AB grandisse. On fait cela, jusqu'à ce que D soit aligné avec A et B. A ce moment, D voit AB sous l'angle nul et C voit AB sous un angle positif. Donc, durant le mouvement que nous avons fait, il y a eu un moment où C et D ont vus AB sous le même angles. Le quadrilatère était inscrit dans un cercle à ce moment.

Voilà, j'espère que c'était compréhensible et pas trop faux.

Je réfléchis encore à la maximalité de l'aire.

[Jeanpaul]

Pas mal, Sylvestre de l'avoir fait sans écrire d'équations. Maintenant voir si tu arrives à répondre à la 2ème question sans écrire d'équation.
N.B. Avec équations, c'est simple aussi.

[Sylvestre]

Envoyé par Jeanpaul

Pas mal, Sylvestre de l'avoir fait sans écrire d'équations. Maintenant voir si tu arrives à répondre à la 2ème question sans écrire d'équation.
N.B. Avec équations, c'est simple aussi.

Bon, là j'avoue que je n'ai pas réussi sans équations, mais voici tout de même ma solution.

Soient A,B,C et D les quatre sommets dans cet ordre. L'aire du quadrilatère est la somme des aires des triangles ABC et de ACD. Soient beta, l'angle en B et delta, l'angle en D. Si on arrive à montrer que beta+delta=180 degré lorsque l'aire est maximale, alors on a gagné.

Par le théorème du cosinus, nous avons que

Ensuite, on veut trouver commer varie beta et delta l'un par rapport à l'autre. On dérive l'équation précédente et on trouve
(*)

De plus, la somme des aires des deux triangles ABC et ACD vaut

On cherche un zéro de sa dérivée pour la maximiser et on trouve que

Ensuite, on remplace en utilisant (*) et on trouve que


ce qui veut dire que et donc que

[Jeanpaul]

Bravo, c'est génial (la preuve, c'était ma solution aussi !).
Remarque que si tu prends la relation des cosinus en posant que les angles opposés sont supplémentaires, tu trouves une équation donnant le cosinus de l'angle, donc la condition pour que les points soient sur un cercle.
Il faut bien-sûr que le cosinus trouvé soit compris entre -1 et +1, ce qui donne des conditions sur les longueurs des côtés.
La beauté de la chose, c'est que ces conditions reviennent à dire que n'importe quel côté doit être inférieur à la somme des 3 autres, ce qui est nécessaire pour que le quadrilatère se boucle.

[martini_bird]

Désolé pour mon post, je n'avais pas compris le sujet.