Intervalle de confiance d'un pourcentage pour un petit échantillon

[sandy28]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'Intervalle de confiance d'un pourcentage.
J'ai trouvé la formule suivante dans un livre de méthodes statistiques (Intervalle de confiance à 95 %) :

[pi ; ps] = po +/- 1.96 * SQRT(p0*q0/n)

où :
- pi est la borne inférieure de l'intervalle ;
- ps est la borne supérieure de l'intervalle ;
- SQRT = racine carrée ;
- p0 est le pourcentage observé ;
- q0 = 1 - p0 ;
- n est l'effectif.

OK jusque là sauf que ça marche uniquement si
npi, nps, nqi et nqs >= 5.
(rq : qi = 1 - pi ; qs = 1 - ps)

Dans le cas inverse, la formule ne peut pas être appliquée, on se retrouve avec un intervalle de confiance pour un petit échantillon.

Là on me signale dans le livre que l'on doit recourir à la loi binomiale ou à des tables (seconde méthode impossible car c'est pour obtenir le résultat par programmation).
Et là, mystère sur l'utilisation de la loi binomiale pour un intervalle de confiance. J'ai cherché sur le net, sans trop de succés.

Alors si quelqu'un pouvait me délivrer la solution, ça m'aiderait grandement !!
Merci d'avance

[yo]

bonjour !

sous réserves que je ne dise pas de bêtises.

l'ic que tu obtiens, c'est grâce à la loi normale. tu utilises donc le théoreme central limit (tcl) car tu as une convergence en loi pour une certaine statistique qui te fais aboutir au résultat "recette" que tu as.

comme il s'agit d'une convergence, la précision augmente dès que le nombre d'observations augmente. donc plus n est grand, plus l'écart-type diminue, et donc au seuil de 5% fixé, ton intervalle de confiance (ic) devient de plus en plus précis c'est à dire de + en + petit.

combien as tu d'observations ?
selon les statisticiens, le nombre d'observations "seuil" varie car il n'y a pas de règle sur la précisions !
certains disent n>30, d'autres n>18, d'autres n>10.

de toutes façons il n'y a pas 50 solutions : soit tu connais la loi que suit ta variable aléatoire, et dans ce cas tu peux t'amuser avec n petit (si elle suit une loi de bernoulli la somme suit une loi binomiale), soit tu ne connais pas la loi de ta va, et dans ce cas tu n'as pas d'autres choix que d'utiliser le tcl, même si n est petit. simplement il faut savoir que ton résultat ne sera pas super fiable...

donc quelle est la loi que suit ta va ?
ou que représente ta va ?

[yo]

donc dans le cas d'une proportion c'est une loi binomiale.
tu as la méthode ici :

http://www.tls.cena.fr/divisions/MSS...aux/node6.html

tu n'es pas obligé d'utuliser les tables. je pense que tu peux mettre ça sous forme algorithmique par itération

[sandy28]

Merci beaucoup pour tes réponses rapides !
Effecivement, j'avais trouvé cette page sur le net. Malgrè tout, je m'étais un peu pomée dedans.
Moi je cherche les bornes inférieures et supérieures de l'intervalle de confiance. Hors, dans l'exmple 3, ils disent de chercher les bornes dans la table statistiques. Mais je ne peux pas utiliser les tables en programmation !
Ma variable représente un pourcentage. C'est pour une étude d'une variable qualitative par rapport à une autre variable qualitative. Je t'ai joint un fichier pour voir + précisément à quoi ça peut ressembler.
Excuse la mauvaise qualité de l'image mais on ne peut pas envoyer de trop gros fichier

Donc si tu peux m'apporter des infos supplémentaires pour mes bornes (ou d'autres personnes biensûr ), ça serait super sympa !

Merci,
Sandy

[yo]

oui ils utilisent les tables car précisément tu ne disposes pas toujours d'ordinateur à côté

en résumé, je comprends de leurs deux formules la choses suivante :
- on fixe un seuil de proba : alpha/2 (dans ton ex 0.05/2)
- on fixe une taille d'échantillon : n
- on fixe le nombre de réalisation ("c'est un homme") : m
- on fait varier p de manière itérative pour trouver p solution de l'équation

dans ton algorithme il faudrait alors créer des boucles.

tant que s différent de alpha/2
faire la somme s (indiquée au lien précédent)
incrémenter p_inf (tu peux incrémenter de 0.01 en 0.01 par ex ?)
remettre s=0

idem pour p_sup.


mais dans le cas que tu as joint, n est grand donc tu peux utiliser le tcl, ça utilisera moins de mémoire...?

il faudrait quand même que qn confirme ou infirme tout ça car je ne suis pas un pro
et il y a peut être d'autres solutions.

[sandy28]

Salut !

Merci beaucoup pour ta proposition de solution : CA FONCTIONNE !!!!! Incroyable !!!

J'ai fait une boucle comme tu m'as conseillé. C'est nickel sauf que ce n'est pas précis à 100 % (je fais varier le p de 0.0001 quand même !!!). On fera avec !!

En tout cas, ça m'aide bien ! C'était quand même long à développer (je comprend pourquoi ils utilisent partout les tables, c'est vachement + simple ).

Bon ben si j'ai d'autres pbs, je reviendrai te questionner

[Kenneth]

Salut,

Theoriquement, la methodologie utilsée tient. Il faut juste quelques précisions sur les données utilisées.
Dans le cas où il s'agit d'une enquête, on estime donc la vrai valeur p, par la valeur obtenue dans l'échantillon. La taille relative de l'échantillon par rapport à celle de la population oriente l'application du TCL.
Si, par contre il s'agit d'un petit recensement ( tous les individus concernés sont observés et interrogés), plus besoin de donner un intervalle de confiance puisque nous avons dès lors la vrai valeur de la proportion.

[sandy28]

Merci pour vos réponses et vos solutions ! Tout est OK maintenant !!