volume, surface et derivée

[Flyingsquirrel]

Salut à tous

Voila mon probleme: lorsque l'on dérive la fonction qui donne le volume d'une sphere de rayon R on obtient la surface de cette sphere: ((4/3)*pi*R³ )' = 4*pi*R²
Il en va de meme pour la surface d'un disque de rayon r et sa circonférence:
(pi*r²)'=2*pi*r
Par contre, cela ne fonctionne pas avec un cube de coté C: la dérivée du volume ne donne pas la surface de ce cube (qui est de 6C²):
(C³ )'=3C²

Voila, je souhaiterai donc savoir si quelqu'un pourrait m'expliquer si il s'agit d'une coincidence ou si le volume d'un objet et sa surface sont réellement liés par la dérivée.
Merci

[cricri]

une sphere et un disque a mon avie ca marche parce que c est le volume max pour une surface minimum voila

[lyapounov]

salut

quand j'etais etudiant, on m'a expliqué la raison de la façon suivante

pour décrire un périmètre d'un cercle on calcule

p= ₀ ² r d= 2 r

pour la surface d'un disque

s= ₀^R ₀ ² rdr d= R²

de meme pour le volume de la sphère on a une qui donne 4/3 R³

mais le cube n'est pas une surface continue donc on ne peux pas calculer son volume au moyen d'intégrales triples classique (conséquence la dérivée n'est pas définie)

[Lambda0]

Allez, un petit problème de maths amusantes pour changer un peu.

Les deux justifications déjà données sont fausses.

Commençons par poser les choses proprement.
On considère une surface S de R3, fermée, non auto-intersectante.
On note H(S,r) la surface déduite de S par homothétie de rapport r par rapport à O.

On définit les applications s,S et v,S suivantes :
v,S:R -> R
r -> volume délimité par H(S,r)

s,S:R -> R
r -> aire de la surface H(S,r)

On peut montrer en géométrie différentielle que :
v,S(r) = v,S(1)*r^3 et s,S(r) = s,S(1)*r^2
(pour des surfaces "raisonnables" : pas de fractales et autres bizarreries...)
Pour alléger les notations, je supprime le ",S" dans ce qui suit.


Cas 1 : S sphère de rayon unité
Volume délimité par S = 4/3*PI
Aire de S = 4*PI
v(r) = 4/3*PI*r^3
s(r) = 4*PI*r^2
On voit que v'(r) = s(r).
Est-ce toujours vrai ? Est-ce une coincidence ?

Cas 2 : S cube de coté 1
Volume délimité par S = 1
Aire de S = 6
v(r) = r^3
s(r) = 6*r^2
Là, plus d'égalité avec la dérivée.
Serait-ce donc une propriété mystérieuse de la sphère ?

Cas 3 : S = tore de grand rayon égal à 1 et de petit rayon égal à 1/6
Volume délimité par S = PI^2/18
Aire de S = PI^2/9
v(r) = PI^2/18*r^3
s(r) = PI^2/9*r^2
On a bien v'(r) = s(r)
Diable ! Il n'y a pas que la sphère !


En cherchant bien, on doit pouvoir trouver aussi bien des surfaces vérifiant l'égalité que ne la vérifiant pas, dérivables ou non.
Le fait qu'il y ait des points où la surface n'est pas dérivable n'empêche absolument pas de calculer l'intégrale de façon classique : on a simplement une intégrale par morceaux.
Pour s'en convaincre, il suffit de transformer l'intégrale de volume en intégrale de surface par le théorème d'Ostrogradski et d'intégrer sur chacune des faces.

Conclusion : simple coincidence algébrique

[Lambda0]

...
ce qui n'empêche pas que l'on peut bien exprimer des relations entre surfaces et volume au moyen du théorème d'Ostrogradski, mais elles dépendront de la surface.

A+

[vuibert]

Envoyé par Flyingsquirrel

Salut à tous

Voila mon probleme: lorsque l'on dérive la fonction qui donne le volume d'une sphere de rayon R on obtient la surface de cette sphere: ((4/3)*pi*R³ )' = 4*pi*R²
Il en va de meme pour la surface d'un disque de rayon r et sa circonférence:
(pi*r²)'=2*pi*r
Par contre, cela ne fonctionne pas avec un cube de coté C: la dérivée du volume ne donne pas la surface de ce cube (qui est de 6C²):
(C³ )'=3C²

Voila, je souhaiterai donc savoir si quelqu'un pourrait m'expliquer si il s'agit d'une coincidence ou si le volume d'un objet et sa surface sont réellement liés par la dérivée.
Merci

Le volume d'un objet solide est bien relie a sa surface par une derivee, mais pas quand on fait des homotheties. Si O est un objet solide, considere l'ensemble des points qui sont a distance au plus e de O, note O_e. Il y a un tres beau theoreme sur le volume de O_e en fonction de e, valable si e est inferieur a un certain seuil :

vol(O_e) = vol(O) + surface(O).e + H/2. e^2 + 4/3pi e^3

ceci n'est PAS un dl, c'est une formule exacte ("formule des tubes"). Le terme H est l'integrale de la courbure moyenne du bord de O. Le coeff de e^3 est valable pour des objets sans trous, sinon il change. La formule exacte est 4pi/3(1+ nombre de trous). C'est donc un terme purement topologique, qui ne depend pas de la forme precise de O!
On voit donc que la derivee par rapport a e de vol(O_e) est bien la surface de O, comme tu en as eu l'intuition. Dans le cas de la sphere, faire comme ci-dessus ou faire une homothetie c'est pareil, c'est pour ca que ca coincide. Mais pour le cube c'est different (dans O_e, des quart de cylindres vont apparaitre au niveau des aretes, et des huitiemes de spheres au niveau des sommets).
Il y a une litterature considerable autour de ces choses, avec plusieurs interpretations etonnantes.

[azt]

Salut,

J'ai cherché quel paramètre permettait d'obtenir une formule égale pour la dérivée du volume du cube et la formule de la surface de ce même cube.
J'ai procédé comme suit :

Le cube :
--------

Tout d'abord, calculer le volume et la surface en fonction du côté c du cube :
S(c)= 6 * c^2
V(c)= c^3 V'(c)=3c^2

Ensuite dire que l'on cherche un paramètre x défini par c=k*x
En remplaçant dans les formules précédentes :
S(x)= 6 * k^2 x^2
V(x)= k^3 x^3 V'(x)=3 * k^3 * x^2

Si l'on veut S(x)=V'(x), on obtient la condition suivante :
6 * k^2 x^2=3 * k^3 * x^2

Qui donne : k = 2

D'où : x = c/2


En ne m'arrêtant pas sur cet essai, j'ai essayé avec le tétraèdre régulier.

Le tétraèdre :
---------------

J'ai procédé d'une manière analogue pour trouver ce x en fonction du côté c.
Et j'ai trouvé :
x= racine (6)/12 *c

Je n'indique pas les étapes intermédiaires, car ce n'est pas le but du message,
Si cela embarrasse quelqu'un je le mettrai volontiers plus tard.

Racine (6)/12 *c m'inspirant un peu, j'ai voulu vérifier une intuition,
J'ai calculé la distance entre le centre de gravité du tétraèdre et les quatre plans qui le délimitent.

Magie, coïncidence ? Peut-être,
Je trouve
h =racine (6)/12 *c


==>

Ce qui me permet de dire que pour la sphère, le carré, et le tétraèdre,

En nommant h la distance entre le centre de gravité et le point le plus proche de la surface du volume,
V'(h)=S (h)

Il doit être possible d'être plus précis sur les termes de la définition de la distance,
Mais je ne trouve pas les mots pour l'instant.

==>
On a fait le volume, venons en au problème plan,
Calculons les aires et les périmètres

Le carré :
----------
En prenant x=c/2 (c étant le coté)

P (x)= 4 *2x = 8x
A (x)= 4 * x^2 A' (x)= 8x

Joli, on retombe sur un résultat semblable : A'(x) = P(x)

Vérifions pour le triangle :
----------------------------
x étant ici la distance entre le centre de gravité et les trois droites délimitant le triangle.

La hauteur du triangle vaut h =racine (3)/2 *c

D'après des résultats connus, on trouve x =h/3
Donc :
x= racine (3)/6 *c

P(x)= 2 racine (3) x * 3 = 6 racine (3) x
A(x) = racine (3)/4 * 4*3*x^2 = 3 racine (3) *x^2

A'(x) = 6 racine (3) x

A'(x) = P(x)

_______________

En notant que cela marche pour le cercle et la sphère,

Je serais tenter de dire que
(en assimilant l'aire à un volume et le périmètre à la surface, cela n'étant
qu'un problème de vocabulaire, en fait))

Pour la sphère, le cube, et le tétraèdre,
En dimensions 2 et 3 :
h étant la distance entre le centre de gravité et le point le plus proche de la surface du volume,
V'(h)=S(h)

_______________

J'en viens aux interrogations ...


Est-il possible de généraliser ces résultats ? Dans quelles conditions ?

Peut-être aurez-vous d'autres exemples pour augmenter cette liste ?

Si le résultat est généralisable, quel en est le sens ?


AZT, reparti cogiter aussi tôt...
qui attend vos avis, remarques, interrogations,...

[Jeanpaul]

Bien compliqué, tout ça !
A mon humble avis, l'explication est plus simple : faire varier le cube, OK, mais on maintient un coin fixe (par exemple en 0), comme tu fais pour la sphère (tu gardes le centre fixe, tu ne le fais pas bouger).
Avec un petit dessin, on voit bien que la surface engendrée par rétrécissement est en fait celle de la moitié du cube (celle qui ne s'appuie pas sur O).

[azt]

Re salut,

En fait je viens de trouver que les polygones et polyèdres réguliers répondent
tous au problème posé.

Démonstration :

Le problème plan :
------------------

Prenons un polygone régulier à n Côtés.
Soit Ri, le rayon du cercle inscrit,
Et c, le coté extérieur.

Comme nous travaillons sur un problème géométrique, il y a une relation directe :
c=k*Ri

Calculons le périmètre et l'aire de ce polygone.
P = n * c = n * k *Ri
A = n * (c *Ri)/2 = n * k *Ri /2

Dérivons la formule de l'aire :
A'(Ri)= 2 * n * k *Ri /2 = n * k *Ri

D'ou A'(Ri) = P (Ri)

Donc quelque soit le polygone régulier, si l'on définit son périmètre et son aire en fonction
du rayon de son cercle inscrit, on obtient par dérivation en fonction de ce rayon de la formule
de l'aire la même expression.
A'(Ri) = P (Ri)

Ce qui explique ce que j'ai montré plutôt pour le carré la moitié du coté représente
le rayon du cercle inscrit dans ce carré.

En faisant tendre, n vers l'infini, on s'approche du cercle, d'ou le fait que la relation
existe pour le cercle.


Pour le problème volumique :
----------------------------

Je prends ici un polyèdre régulier avec n faces,
la démonstration est presque la même que pour le problème plan.

Posons
S0 la surface d'une face.
Ri le rayon du cercle inscrit.

Bien entendu, il y a une relation immuable entre ces deux variables :
S0 = k *Ri

Calculons la surface et le volume en fonction de ces éléments :
S = n * S0(Ri)=n * k * Ri^2
V = n * (S0(Ri) *Ri)/3 = (n*k* Ri^3)/3

Dérivons le volume par rapport a Ri
V'(Ri)=k*n*Ri^2

On obtient donc
V'(Ri)=S (Ri)

___________________

D'après la démonstration faite ici, il devient aisé de comprendre que :

Dans un espace à N dimensions,
Pour tout polyèdre régulier,
si l'on définit par Ri le rayon de la sphère inscrite,
par V(Ri) le volume du polyèdre en fonction de Ri,
et par S (Ri) la surface délimitée par le polyèdre en fonction de Ri,

Alors

V'(Ri)=S (Ri)


Mais peut-être existe-t-il d'autres formes et familles géométriques pour lesquelles la relation marche ?


A plus,

AZT, qui s'est bien occupé malgré la pluie battante

[Lambda0]

Bonjour

pas le temps de tout lire, je passe juste donner un erratum:
il fallait prendre bien sur un tore de grand rayon 1 et de petit rayon 2/3, ce qui donne :
V=8*PI^2/9
S=8*PI^2/3

On peut donc trouver ce qu'on veut en choisissant l'unité de mesure.

A+

[Flyingsquirrel]

Salut

Merci à tous de m'avoir expliqué et demontré cette relation. Une dernière question: S'agit-il d'un théorème precis ou bien d'une relation vraie mais peu utilisée

@+

P.S.:Je n'avais pas précisé que je suis en terminale S et donc je ne maitrise pas encore les intégrales

[lany]

Je suis nouveau sur le site et je n'ai pas prit le temps de tout lire les réponses. En fait, je vennais de faire la même «découverte» que Flyingsquirrel et j'ai donc décidé de chercher sur internet voir si quelqu'un en aprlait un peu. Je vien du québec et commence le cégep( et oui il ya des cegep au québec, étape qui dure généralement 2 ans avant l'université). J'ai commencé les dérivés et abouti à la même conclusion que notre ami. Malheureusement, mes connaissances mathématiques ne me permettent pas de réellement comprendre toutes les expliquations écrites.

Je voudrais seulement précisé ceci.
Flyingsquirrel a dit que ça marchait pour le volume et l'aire de la sphère et pour l'aire et le cercle du cercle.
Il précise que cela ne marche pas pour le cube. Son erreur est qu'il prend le coté C du cube, alors que pour le cercle et la shpère on prend le rayon. Pour que ceci fonctionne avec le carré et le cube, nous devons prendre l'apothème.

Cube

Volume: 2a*2a*2a=8a³
Aire: 2a*2a*6=24a²

V'(a)=A


Carré
Aire: 4a²
Périmètre: 8a

A'(a)=P


Ceci marche aussi avec tout polygone régulier en fonction de leur apothème.

Ex. Hexagone

a²+(c/2)²=c²
a²=3c²/4
c=racine de (4a²/3)

Aire = c*a /2 * 6= 3ca
= 3(racine de (4a²/3))*a
= racine de (3) *a*2a
=racine de (3) * 2a²

Périmètre = 6*c
= 6*racine de (4a²/3)
= racine de (3)*4a

A'(a)=P

[bopi]

J'ai pris le temps de lire presque toutes les réponses fournies par rapport à ce problème.
Le conseil que je donne à tous ceux qui ont tenté d'apporter une réponse est de ne pas s'aventurer dans un terrain qu'ils ne maîtrisent pas, je parle à ceux qui ont tenté d'apporté des démonstrations bidons qui sont souvent basées, pour ne pas dire toutes, sur ce qu'on peut appeler en mathématique: une faute théorique grave. Au lieu d'aider notre ami vous risquez de ce fait d'empirer les choses.
Venons en au problème:
Comme tu es un élève de terminale tu dois savoir qu'avant de s'aventurer à déterminer la dérivée d'une fonction en un point on doit d'abord s'assurer que la fonction est dérivable en ce point.
Tu sais aussi qu'une fonction peut être continue sur un ensemble sans être dérivable sur cet ensemble. La surface du cube est partout continue mais elle n'est pas dérivable sur les bord.
Tu auras peut être l'occasion à l'université de calculer le volume d'une sphère de rayon r par intégrale d'éléments de surface et de volume. C'est exactement de la même manière que tu as calculé la surface définie par une courbe par rapport aux axes x et y en calcul intégrale en considérant des petites longueur dx ou dy qu'on peut prendre aussi petit que l'on veut.
Dit toi que lorsque la surface est entièrement lisse c'est à dire sans point enguleux, l'intégrale donnant le volume est dérivable et sa dérivée est égale à la surface recouvrant le volume. Si c'est pas le cas c'est à dire lorsque la surface comporte des points enguleux comme c'est le cas pour le cube, la fonction donnant le volume n'est pas dérivable le long des côtés; On passe d'une surface à une autre par une rotation (un changement de repère) qu'il faut prendre en compte.
Je vais te donner un théorème qui va te permettre de calculer simplement le volume d'un solide dans plusieurs cas. C'est le théorème de Papius-Guildinus: le théorème dit que si tu prend une surface quelconque que tu fais déplacer de façon continue le long d'une courbe dérivable, le volume balayé par la surface est égal à la surface du solide que multiplie la distance parcourue par le centre de gravité du solide.
Un exemple simple est le cylindre qui soit la surface engendrée par le disque constituant sa base en se déplaçant de la base inf à la base sup: v= (pi*r²)*h, soit la surface engendrée par la rotation du rectangle ayant pour côté le rayon du cylindre: v= (r*h)*(2*pi*r/2). Le volume d'une chambre à aire de vélo ou de voiture est donc égal à la surface de la section droite de la chambre à aire que multiplie la circonférence du cercle de centre le centre de la chambre à aire et de rayon la distance entre le centre de la chambre à aire et le milieu du cercle constituant la section droite. Pour la sphère c'est la rotation du demi disque autour de son diamètre.

Reprenons l'exemple du cylindre qui est soit le volume balayé par le disque constituant sa base en parcourant sa hauteur soit le volume balayé par la rotation complète du rectangle autour de son axe. V=(pi*r²)*h En dérivant par rapport à h on trouve la surface du cercle et en dérivant par rapport à r on trouve la surface latérale du cylindre.

J'espère avoi répondu à ta question s'il y a des choses pas claires tu peux toujours me poser des question, je répondrais dès que possible.